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Exemples et Exercices sur les Limites à l'Infini

Travaillez votre compréhension des limites à l'infini avec des exemples détaillés et des exercices corrigés, conçus pour les élèves de lycée.

Exemple 1 : Fonction Rationnelle

Calculer la limite suivante: lim (x→+∞) (4x² - 3x + 1) / (2x² + x - 5).
Solution: On divise le numérateur et le dénominateur par x²: f(x) = (4 - 3/x + 1/x²) / (2 + 1/x - 5/x²).
Lorsque x tend vers +∞, les termes 3/x, 1/x², 1/x et 5/x² tendent vers 0. Donc, lim (x→+∞) f(x) = 4/2 = 2. La fonction admet une asymptote horizontale en y = 2.

Exemple 2 : Fonction avec Racine Carrée

Calculer la limite suivante: lim (x→+∞) √(x² + 2x + 1) - x.
Solution: On multiplie et divise par la quantité conjuguée: f(x) = (x² + 2x + 1 - x²) / (√(x² + 2x + 1) + x) = (2x + 1) / (√(x² + 2x + 1) + x).
On divise le numérateur et le dénominateur par x: f(x) = (2 + 1/x) / (√(1 + 2/x + 1/x²) + 1).
Lorsque x tend vers +∞, les termes 1/x et 1/x² tendent vers 0. Donc, lim (x→+∞) f(x) = 2 / (√1 + 1) = 2/2 = 1.

Exercice 1

Calculer la limite suivante: lim (x→-∞) (x³ - 5x + 2) / (2x³ + 3x² - 1).
Indication: Divisez le numérateur et le dénominateur par x³.

Exercice 2

Calculer la limite suivante: lim (x→+∞) √(x² + 1) / x.
Indication: Simplifiez l'expression en divisant par x.

Corrigé Exercice 1

En divisant par x³ : (1 - 5/x² + 2/x³) / (2 + 3/x - 1/x³). Lorsque x tend vers -∞, la limite est 1/2.

Corrigé Exercice 2

√(x² + 1) / x = √(1 + 1/x²). Lorsque x tend vers +∞, la limite est √1 = 1.

Ce qu'il faut retenir

  • La pratique avec des exemples est essentielle pour maîtriser les limites à l'infini.
  • Identifier les formes indéterminées et appliquer les techniques appropriées.
  • Vérifier vos résultats en traçant la fonction et en observant son comportement à l'infini.

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FAQ

  • Où puis-je trouver d'autres exercices corrigés sur les limites?

    De nombreux sites web et manuels scolaires proposent des exercices corrigés sur les limites. Vous pouvez également consulter des vidéos explicatives sur des plateformes comme YouTube.
  • Comment puis-je vérifier si ma réponse est correcte?

    Utilisez un logiciel de calcul formel ou une calculatrice graphique pour tracer la fonction et observer son comportement lorsque x tend vers l'infini. Vous pouvez aussi demander à votre professeur de vérifier vos résultats.