Maîtriser le Produit Scalaire : Exercices et Applications Complexes

Problèmes de Géométrie Analytique

Le produit scalaire est un outil puissant pour résoudre des problèmes complexes de géométrie analytique. Par exemple, on peut l'utiliser pour:

• Déterminer l'équation d'une droite perpendiculaire à une autre droite passant par un point donné.
• Calculer la distance d'un point à une droite.
• Trouver les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite.
• Démontrer des propriétés géométriques, comme le théorème de Pythagore ou le théorème d'Al-Kashi.

Résolvons un exemple : Trouver l'équation de la droite perpendiculaire à la droite d'équation $2x - y + 3 = 0$ et passant par le point $A(1, 2)$. Un vecteur directeur de la droite donnée est $\vec{v}(1, 2)$. Un vecteur normal à cette droite est donc $\vec{n}(2, -1)$. La droite perpendiculaire recherchée a donc pour vecteur directeur $\vec{n}(2, -1)$ et passe par le point $A(1, 2)$. Son équation est donc de la forme $2(x-1) - (y-2) = 0$, soit $2x - y = 0$.

Applications en Physique

En physique, le produit scalaire est utilisé pour calculer le travail d'une force. Le travail $W$ effectué par une force $\vec{F}$ lors d'un déplacement $\vec{d}$ est donné par $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si l'angle entre la force et le déplacement est $\theta$, alors $W = ||\vec{F}|| \cdot ||\vec{d}|| \cdot \cos(\theta)$. Considérons un exemple : Une force de 10 N est appliquée pour déplacer un objet sur une distance de 5 mètres. L'angle entre la force et le déplacement est de 30°. Calculons le travail effectué. $W = 10 \cdot 5 \cdot \cos(30°) = 50 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ Joules.

Exercices Avancés

Exercice 1 : Démonstration géométrique Démontrer le théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus) en utilisant le produit scalaire. Dans un triangle ABC, on a : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$, où a, b, et c sont les longueurs des côtés opposés aux angles A, B et C respectivement. On peut écrire $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$. Alors $a^2 = \vec{BC} \cdot \vec{BC} = (\vec{BA} + \vec{AC}) \cdot (\vec{BA} + \vec{AC}) = \vec{BA} \cdot \vec{BA} + 2 \vec{BA} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AC} = c^2 + b^2 + 2 c b \cos(180°-A) = c^2 + b^2 - 2bc \cos(A)$. Exercice 2 : Optimisation Soit un triangle ABC. Trouver le point M tel que $MA^2 + MB^2 + MC^2$ soit minimal. On peut utiliser le barycentre G du triangle. $MA^2 + MB^2 + MC^2 = (\vec{MG} + \vec{GA})^2 + (\vec{MG} + \vec{GB})^2 + (\vec{MG} + \vec{GC})^2 = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2 \vec{MG} \cdot (\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}) = 3MG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2$. Cette expression est minimale quand MG = 0, c'est-à-dire quand M = G.

Ce qu'il faut retenir

• Le produit scalaire est un outil fondamental pour résoudre des problèmes complexes de géométrie analytique.
• Il est utilisé pour calculer des distances, des angles, et des projections, et pour démontrer des propriétés géométriques.
• En physique, il permet de calculer le travail d'une force.
• La maîtrise du produit scalaire est essentielle pour réussir en mathématiques et en physique au lycée.