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Introduction aux Tables de Vérité

Comprenez les tables de vérité, un outil fondamental en logique propositionnelle pour évaluer la validité des propositions et des arguments. Apprenez à construire et à interpréter des tables de vérité avec des exemples concrets adaptés aux élèves de lycée.

Qu'est-ce qu'une Proposition Logique ?

Une proposition logique est une affirmation qui peut être soit vraie, soit fausse, mais pas les deux en même temps. On représente souvent la valeur 'vrai' par 'V' ou '1', et la valeur 'faux' par 'F' ou '0'. Par exemple : 'Paris est la capitale de la France' est une proposition vraie. '2 + 2 = 5' est une proposition fausse.

Les Connecteurs Logiques de Base

Les connecteurs logiques permettent de combiner des propositions simples pour former des propositions composées. Les principaux connecteurs sont :

  • La négation (¬) : Inverse la valeur de vérité d'une proposition. Si P est vraie, ¬P est fausse, et vice versa.
  • La conjonction (∧) : Est vraie seulement si les deux propositions sont vraies. P ∧ Q est vraie si P est vraie ET Q est vraie.
  • La disjonction (∨) : Est vraie si au moins une des deux propositions est vraie. P ∨ Q est vraie si P est vraie OU Q est vraie (ou les deux).
  • L'implication (→) : Est fausse seulement si P est vraie et Q est fausse. P → Q se lit 'Si P alors Q'. Elle est équivalente à '¬P ∨ Q'.
  • L'équivalence (↔) : Est vraie si les deux propositions ont la même valeur de vérité. P ↔ Q se lit 'P est équivalent à Q' ou 'P si et seulement si Q'. Elle est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies ou toutes les deux fausses.

Construction d'une Table de Vérité

Une table de vérité énumère toutes les combinaisons possibles de valeurs de vérité pour les propositions impliquées dans une expression logique, et indique la valeur de vérité de l'expression pour chaque combinaison. Voici les étapes pour construire une table de vérité :

  1. Identifier les propositions simples : Par exemple, P et Q.
  2. Lister toutes les combinaisons possibles : Pour deux propositions, il y a 2² = 4 combinaisons : (V, V), (V, F), (F, V), (F, F).
  3. Évaluer l'expression logique : Pour chaque combinaison, calculer la valeur de vérité de l'expression en utilisant les règles des connecteurs logiques.

Exemple : Construisons la table de vérité de P ∧ Q (P ET Q) :

PQP ∧ Q
VVV
VFF
FVF
FFF

Dans cet exemple, P ∧ Q est vraie seulement quand P et Q sont toutes les deux vraies.

Exemples d'utilisation des Tables de Vérité

Exemple 1: Table de vérité de P → Q (Si P alors Q)

PQP → Q
VVV
VFF
FVV
FFV

Remarque importante : P → Q est considérée comme vraie lorsque P est fausse. Cela peut sembler contre-intuitif, mais c'est une convention logique.

Exemple 2: Table de vérité de (P ∨ Q) → R
Dans cet exemple, nous avons trois propositions : P, Q et R. Il y aura donc 2³ = 8 combinaisons possibles.
PQRP ∨ Q(P ∨ Q) → R
VVVVV
VVFVF
VFVVV
VFFVF
FVVVV
FVFVF
FFVFV
FFFFV

Tautologies, Contradictions et Contingences

  • Tautologie: Une proposition qui est toujours vraie, quelle que soit la valeur de vérité de ses composantes. Exemple: P ∨ ¬P
  • Contradiction: Une proposition qui est toujours fausse. Exemple: P ∧ ¬P
  • Contingence: Une proposition qui peut être vraie ou fausse, selon la valeur de vérité de ses composantes. La plupart des propositions sont des contingences.

Ce qu'il faut retenir

  • Une proposition logique est soit vraie (V), soit fausse (F).
  • Les connecteurs logiques de base sont : négation (¬), conjonction (∧), disjonction (∨), implication (→), équivalence (↔).
  • Une table de vérité énumère toutes les combinaisons de valeurs de vérité et la valeur de l'expression logique.
  • Une tautologie est toujours vraie, une contradiction est toujours fausse, et une contingence peut être vraie ou fausse.
  • L'implication P → Q est fausse seulement quand P est vraie et Q est fausse.

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FAQ

  • Comment déterminer le nombre de lignes dans une table de vérité ?

    Le nombre de lignes dans une table de vérité est 2n, où n est le nombre de propositions simples différentes.
  • Pourquoi l'implication P → Q est-elle vraie quand P est fausse ?

    C'est une convention logique. On peut considérer que si l'hypothèse (P) est fausse, l'implication n'est pas violée, donc elle est considérée comme vraie. Pensez à une promesse : si la condition n'est jamais remplie, la promesse est toujours tenue.