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Exercices corrigés sur l'indépendance d'événements

Entraînez-vous avec des exercices corrigés sur l'indépendance d'événements. Appliquez les concepts clés et consolidez votre compréhension.

Exercice 1 : Lancer de dés

On lance deux dés non truqués. Soit A l'événement "Le premier dé donne un nombre pair" et B l'événement "La somme des deux dés est égale à 7". Les événements A et B sont-ils indépendants ? Solution :

  • P(A) = 3/6 = 1/2 (car les nombres pairs sont 2, 4, 6)
  • Pour calculer P(B), on liste les couples qui donnent une somme de 7 : (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1). Donc P(B) = 6/36 = 1/6
  • Pour calculer P(A ∩ B), on cherche les couples qui donnent une somme de 7 et où le premier dé est pair : (2, 5), (4, 3), (6, 1). Donc P(A ∩ B) = 3/36 = 1/12
  • On vérifie si P(A ∩ B) = P(A) * P(B) : 1/12 = (1/2) * (1/6). L'égalité est vérifiée.
Conclusion : Les événements A et B sont indépendants.

Exercice 2 : Tirage de cartes

On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. On remet la carte, puis on tire une seconde carte. Soit A l'événement "La première carte est un coeur" et B l'événement "La seconde carte est un pique". Les événements A et B sont-ils indépendants ? Solution :

  • P(A) = 8/32 = 1/4 (il y a 8 coeurs dans un jeu de 32 cartes)
  • P(B) = 8/32 = 1/4 (il y a 8 piques dans un jeu de 32 cartes)
  • Comme le tirage se fait avec remise, les deux tirages sont indépendants. Donc P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = (1/4) * (1/4) = 1/16
Conclusion : Les événements A et B sont indépendants.

Exercice 3 : Sondage

Dans une population, 60% des personnes sont des femmes. 40% des femmes et 30% des hommes pratiquent un sport régulièrement. Soit F l'événement "La personne est une femme" et S l'événement "La personne pratique un sport régulièrement". Les événements F et S sont-ils indépendants ? Solution :

  • P(F) = 0.6
  • P(S|F) = 0.4 (40% des femmes font du sport)
  • P(S|¬F) = 0.3 (30% des hommes font du sport)
  • P(S) = P(S|F) * P(F) + P(S|¬F) * P(¬F) = 0.4 * 0.6 + 0.3 * 0.4 = 0.24 + 0.12 = 0.36
  • P(F ∩ S) = P(S|F) * P(F) = 0.4 * 0.6 = 0.24
  • On vérifie si P(F ∩ S) = P(F) * P(S) : 0.24 = 0.6 * 0.36 = 0.216. L'égalité n'est pas vérifiée.
Conclusion : Les événements F et S ne sont pas indépendants.

Ce qu'il faut retenir

  • Pour prouver l'indépendance, il faut vérifier que P(A ∩ B) = P(A) * P(B).
  • Si on connait les probabilités conditionnelles, on peut utiliser P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) ou P(A ∩ B) = P(B|A) * P(A).
  • Bien identifier les événements et calculer correctement les probabilités.
  • Le tirage avec remise rend les événements indépendants.
  • Utiliser l'arbre de probabilités pour faciliter le calcul.

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FAQ

  • Est-ce que les exercices sur l'indépendance d'événements sont difficiles ?

    Les exercices peuvent varier en difficulté. La clé est de bien comprendre la définition de l'indépendance et de savoir calculer les probabilités. Entraînez-vous avec des exemples variés pour vous familiariser avec différents scénarios.
  • Comment savoir quelle formule utiliser pour prouver l'indépendance ?

    La formule de base est P(A ∩ B) = P(A) * P(B). Si vous connaissez les probabilités conditionnelles, vous pouvez utiliser P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B) ou P(A ∩ B) = P(B|A) * P(A). Choisissez la formule qui utilise les informations dont vous disposez.