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Factorisation de polynômes simples : Guide complet pour le lycée

Apprenez à factoriser des polynômes de manière simple et efficace. Ce guide, conçu pour les lycéens, vous expliquera les techniques de base avec des exemples clairs et des exercices pratiques.

Introduction à la factorisation

La factorisation de polynômes est une compétence essentielle en algèbre. Elle consiste à exprimer un polynôme comme un produit de polynômes plus simples. C'est l'opération inverse du développement. Dans ce guide, nous nous concentrerons sur les cas simples, fréquemment rencontrés au lycée. La factorisation simplifie la résolution d'équations et l'analyse de fonctions polynomiales. Avant de commencer, assurons-nous de bien connaître les notions de base telles que les monômes, les binômes et les trinômes. Rappelons qu'un polynôme est une expression algébrique constituée de termes (monômes) additionnés ou soustraits. Par exemple, 3x2 + 2x - 5 est un polynôme.

Factorisation par mise en évidence simple

La méthode la plus simple de factorisation est la mise en évidence. Elle consiste à identifier un facteur commun à tous les termes du polynôme et à le mettre en facteur. Voici les étapes :

  1. Identifier le facteur commun: Recherchez le plus grand facteur commun à tous les termes du polynôme.
  2. Mettre en évidence le facteur commun: Écrivez le facteur commun devant une parenthèse.
  3. Diviser chaque terme par le facteur commun: Écrivez le résultat de chaque division à l'intérieur de la parenthèse.
Exemple 1: Factoriser 4x + 8.
  • Le facteur commun est 4.
  • On met 4 en évidence: 4( )
  • On divise chaque terme par 4: 4(x + 2)
Donc, 4x + 8 = 4(x + 2). Exemple 2: Factoriser 6x2 - 9x.
  • Le facteur commun est 3x.
  • On met 3x en évidence: 3x( )
  • On divise chaque terme par 3x: 3x(2x - 3)
Donc, 6x2 - 9x = 3x(2x - 3).

Factorisation par regroupement

La factorisation par regroupement est utilisée lorsque les quatre termes d'un polynôme n'ont pas tous un facteur commun, mais peuvent être regroupés en paires qui partagent un facteur commun. Voici les étapes:

  1. Regrouper les termes: Regroupez les termes par paires de manière à ce que chaque paire ait un facteur commun.
  2. Factoriser chaque paire: Mettez en évidence le facteur commun de chaque paire.
  3. Identifier le facteur commun résultant: Si les deux paires ont maintenant un facteur commun, mettez-le en évidence.
Exemple: Factoriser ax + ay + bx + by.
  • On regroupe les termes: (ax + ay) + (bx + by)
  • On factorise chaque paire: a(x + y) + b(x + y)
  • On met (x + y) en évidence: (x + y)(a + b)
Donc, ax + ay + bx + by = (x + y)(a + b).

Factorisation des trinômes du second degré (cas simples)

Les trinômes du second degré, de la forme ax2 + bx + c, peuvent parfois être factorisés en deux binômes. Nous nous concentrerons ici sur les cas simples où a = 1, c'est-à-dire les trinômes de la forme x2 + bx + c. Les étapes sont les suivantes:

  1. Trouver deux nombres: Trouvez deux nombres dont le produit est c et la somme est b.
  2. Écrire la factorisation: Si ces nombres sont p et q, alors x2 + bx + c = (x + p)(x + q).
Exemple: Factoriser x2 + 5x + 6.
  • On cherche deux nombres dont le produit est 6 et la somme est 5. Ces nombres sont 2 et 3.
  • On écrit la factorisation: (x + 2)(x + 3)
Donc, x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Cas particulier: Identités remarquables Certains trinômes du second degré sont des identités remarquables qu'il est important de reconnaître pour une factorisation rapide:
  • a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
  • a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
  • a2 - b2 = (a + b)(a - b)
Exemple : Factoriser x2 - 4
  • On reconnait une différence de carrés avec a = x et b = 2.
  • On applique la formule : (x + 2)(x - 2)

Conseils et astuces

  • Vérifiez toujours votre factorisation: Développez votre résultat pour vérifier si vous obtenez bien le polynôme de départ.
  • Simplifiez au maximum: Assurez-vous que les facteurs que vous avez trouvés ne peuvent pas être factorisés davantage.
  • Entraînez-vous régulièrement: La factorisation devient plus facile avec la pratique. Faites des exercices variés pour maîtriser les différentes techniques.

Ce qu'il faut retenir

  • La factorisation consiste à exprimer un polynôme comme un produit de polynômes plus simples.
  • Les méthodes de factorisation de base incluent la mise en évidence, le regroupement et la factorisation des trinômes du second degré.
  • La mise en évidence consiste à identifier et à extraire un facteur commun à tous les termes.
  • Le regroupement est utilisé lorsque les termes peuvent être regroupés en paires avec un facteur commun.
  • La factorisation des trinômes du second degré x2 + bx + c consiste à trouver deux nombres dont le produit est c et la somme est b.
  • Reconnaître et utiliser les identités remarquables (a2 + 2ab + b2, a2 - 2ab + b2, a2 - b2) facilite la factorisation.
  • Vérifiez toujours votre factorisation en développant le résultat obtenu.

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FAQ

  • Comment savoir quelle méthode de factorisation utiliser ?

    Commencez toujours par vérifier si une mise en évidence simple est possible. Si ce n'est pas le cas, essayez le regroupement si vous avez quatre termes. Pour les trinômes du second degré, essayez de trouver deux nombres qui satisfont les conditions de somme et de produit, ou vérifiez si le trinôme correspond à une identité remarquable.
  • Est-ce que tous les polynômes peuvent être factorisés ?

    Non, certains polynômes ne peuvent pas être factorisés en polynômes plus simples avec des coefficients entiers ou rationnels. On dit alors qu'ils sont irréductibles.
  • Pourquoi la factorisation est-elle importante ?

    La factorisation est importante car elle simplifie la résolution d'équations, l'analyse de fonctions, et permet de simplifier des expressions algébriques complexes. Elle est également utilisée dans de nombreux domaines des mathématiques et des sciences.