Le Raisonnement par l'Absurde : Une Méthode Déductive Puissante

Introduction au Raisonnement par l'Absurde

Le raisonnement par l'absurde, également appelé *reductio ad absurdum*, est une méthode de démonstration mathématique où l'on suppose que l'affirmation que l'on souhaite prouver est fausse. Si cette supposition mène à une contradiction logique, alors on peut conclure que l'affirmation initiale est vraie. C'est un outil puissant pour résoudre des problèmes et prouver des théorèmes, notamment lorsque les méthodes directes sont difficiles à appliquer. Il est crucial de comprendre que l'objectif est de trouver une contradiction, c'est-à-dire une affirmation qui est à la fois vraie et fausse, ce qui est impossible.

Les Étapes du Raisonnement par l'Absurde

Voici les étapes clés pour mener un raisonnement par l'absurde efficace :

1. Supposition de la négation : On suppose que l'affirmation que l'on souhaite prouver est fausse. C'est l'hypothèse de départ de notre raisonnement.
2. Développement logique : On déduit logiquement une série de conséquences à partir de cette supposition, en utilisant des règles mathématiques et des théorèmes connus.
3. Identification d'une contradiction : On cherche à montrer que ces conséquences mènent à une contradiction logique (une affirmation à la fois vraie et fausse).
4. Conclusion : Si une contradiction est trouvée, on conclut que la supposition initiale est fausse, ce qui implique que l'affirmation que l'on voulait prouver est vraie.

Exemple 1 : Preuve de l'Irrationalité de √2

Démontrons que √2 est un nombre irrationnel en utilisant le raisonnement par l'absurde.

1. Supposition de la négation : Supposons que √2 est un nombre rationnel. Cela signifie qu'il peut être écrit sous la forme d'une fraction irréductible p/q, où p et q sont des entiers sans facteur commun (c'est-à-dire que la fraction est simplifiée au maximum). Donc, √2 = p/q.
2. Développement logique : Elevons les deux côtés de l'équation au carré : (√2)² = (p/q)². Cela donne 2 = p²/q², puis 2q² = p². Cela signifie que p² est un nombre pair (car il est égal à 2 fois un entier). Si p² est pair, alors p est également pair (un carré impair donne un nombre impair). Donc, p peut être écrit sous la forme 2k, où k est un entier.
3. Substitution et déduction : Substituons p = 2k dans l'équation 2q² = p² : 2q² = (2k)² = 4k². Divisons les deux côtés par 2 : q² = 2k². Cela signifie que q² est également un nombre pair, et donc q est aussi pair.
4. Identification d'une contradiction : Nous avons montré que p et q sont tous les deux pairs. Cependant, nous avions supposé que p/q était une fraction irréductible, ce qui signifie que p et q n'avaient aucun facteur commun. Le fait que p et q soient tous les deux pairs contredit cette supposition.
5. Conclusion : Puisque notre supposition initiale (√2 est rationnel) mène à une contradiction, elle est fausse. Par conséquent, √2 est un nombre irrationnel.

Exemple 2 : L'Infinité des Nombres Premiers

Démontrons qu'il existe une infinité de nombres premiers en utilisant le raisonnement par l'absurde.

1. Supposition de la négation : Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers. Nommons-les p₁, p₂, ..., pₙ.
2. Construction d'un nombre : Considérons le nombre N = (p₁ * p₂ * ... * pₙ) + 1. Ce nombre est obtenu en multipliant tous les nombres premiers ensemble, puis en ajoutant 1.
3. Analyse de la divisibilité : N est-il un nombre premier ? Si oui, alors nous avons trouvé un nombre premier qui n'était pas dans notre liste finie, ce qui est une contradiction. Sinon, N est un nombre composé, et doit donc être divisible par au moins un nombre premier.
4. Identification d'une contradiction : Supposons que N est divisible par l'un des nombres premiers de notre liste, disons pᵢ. Alors, N = pᵢ * k, où k est un entier. Mais nous savons aussi que N = (p₁ * p₂ * ... * pₙ) + 1. Donc, (p₁ * p₂ * ... * pₙ) + 1 = pᵢ * k. En réarrangeant, on obtient 1 = pᵢ * k - (p₁ * p₂ * ... * pₙ). Le côté droit de l'équation est divisible par pᵢ, ce qui signifie que 1 est divisible par pᵢ. La seule façon pour que cela soit vrai est si pᵢ = 1. Mais 1 n'est pas un nombre premier! C'est une contradiction.
5. Conclusion : Puisque notre supposition initiale (qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers) mène à une contradiction, elle est fausse. Par conséquent, il existe une infinité de nombres premiers.

Quand Utiliser le Raisonnement par l'Absurde ?

Le raisonnement par l'absurde est particulièrement utile dans les situations suivantes :

• Pour prouver une négation : Il est souvent plus facile de montrer qu'une supposition mène à une contradiction que de prouver directement l'affirmation négative.
• Pour prouver l'unicité : On peut supposer qu'il existe deux objets satisfaisant une certaine condition, puis montrer que cela mène à une contradiction, prouvant ainsi que l'objet est unique.
• Lorsque les preuves directes sont difficiles : Si on ne sait pas comment démarrer une preuve directe, le raisonnement par l'absurde peut offrir une approche alternative.

Pièges à éviter

Il est crucial de vérifier attentivement chaque étape du raisonnement pour éviter des erreurs logiques. Un raisonnement par l'absurde incorrect peut conduire à une conclusion fausse. Assurez-vous que la contradiction est réelle et qu'elle découle logiquement de la négation de l'affirmation que vous essayez de prouver.

Ce qu'il faut retenir

• Définition : Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer la négation d'une proposition et à montrer que cette supposition mène à une contradiction.
• Étapes : Supposer la négation, développer logiquement, identifier une contradiction, conclure.
• Utilité : Prouver des négations, prouver l'unicité, contourner les difficultés des preuves directes.
• Exemple clé : La preuve de l'irrationalité de √2.
• Attention : Vérifier la validité de chaque étape pour éviter les erreurs logiques.