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Exercices résolus sur les fonctions inverses

Entrainez-vous avec des exercices résolus étape par étape sur les fonctions inverses. Ce guide contient plusieurs exemples pour vous aider à maitriser le sujet

Structures algébriques du lycée : équations, fonctions, suites et polynômes pour modéliser et résoudre
Exercices résolus sur les fonctions inverses

Exercice 1 : Trouver la fonction inverse

Question : Déterminez la fonction inverse de f(x) = 2x + 5

Solution :

  1. Remplacer f(x) par y : y = 2x + 5
  2. Échanger x et y : x = 2y + 5
  3. Résoudre pour y : x - 5 = 2y => y = (x - 5)/2
  4. Remplacer y par f-1(x) : f-1(x) = (x - 5)/2

Exercice 2 : Vérifier une fonction inverse

Question : Montrez que f(x) = x3 et g(x) = ∛x sont des fonctions inverses l'une de l'autre.

Solution : Pour vérifier que f et g sont des fonctions inverses, nous devons montrer que f(g(x)) = x et g(f(x)) = x

  • f(g(x)) = f(∛x) = (∛x)3 = x
  • g(f(x)) = g(x3) = ∛(x3) = x

Puisque f(g(x)) = x et g(f(x)) = x, f et g sont des fonctions inverses l'une de l'autre.

Exercice 3 : Domaine et image des fonctions inverses

Question : Trouvez le domaine et l'image de f(x) = √(x - 4) et de sa fonction inverse.

Solution :

  • Domaine de f(x) : x - 4 ≥ 0 => x ≥ 4. Donc, Dom(f) = [4, ∞)
  • Image de f(x) : La racine carrée est toujours positive ou nulle. Donc, Im(f) = [0, ∞)
  • Fonction inverse : y = √(x - 4) => x = √(y - 4) => x2 = y - 4 => y = x2 + 4 => f-1(x) = x2 + 4
  • Domaine de f-1(x) : Dom(f-1) = Im(f) = [0, ∞)
  • Image de f-1(x) : Im(f-1) = Dom(f) = [4, ∞)

Ce qu'il faut retenir

  • Pour trouver une fonction inverse, échangez x et y puis résolvez pour y.
  • Pour vérifier que deux fonctions sont inverses l'une de l'autre, montrez que f(g(x)) = x et g(f(x)) = x.
  • Le domaine de la fonction inverse est l'image de la fonction originale, et vice versa.

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FAQ

  • Pourquoi est-il important de vérifier le domaine et l'image des fonctions inverses ?

    Il est important de vérifier le domaine et l'image pour s'assurer que la fonction inverse est définie correctement et pour éviter des erreurs dans les calculs.
  • Comment puis-je identifier rapidement une fonction qui n'a pas d'inverse ?

    Si une fonction n'est pas injective (elle ne passe pas le test de la droite horizontale), elle n'a pas d'inverse.