Contre-Exemples : Suites et Fonctions

Contre-Exemples avec les Suites

Les suites sont un terrain fertile pour l'utilisation des contre-exemples. Souvent, on rencontre des affirmations générales sur la convergence, la monotonie ou le comportement asymptotique des suites. Voici quelques exemples : Affirmation 1 : 'Si une suite (u_n) tend vers 0, alors elle est décroissante à partir d'un certain rang'. Contre-Exemple : Considérons la suite u_n = (-1)ⁿ / n. Cette suite tend vers 0 (car |(-1)ⁿ / n| = 1/n qui tend vers 0). Cependant, elle n'est pas décroissante à partir d'un certain rang. En effet, u₁ = -1, u₂ = 1/2, u₃ = -1/3, u₄ = 1/4... On voit qu'elle alterne entre valeurs positives et négatives, et donc n'est pas monotone. Affirmation 2 : 'Si une suite (u_n) est bornée, alors elle converge'. Contre-Exemple : La suite u_n = (-1)ⁿ est bornée (elle est toujours entre -1 et 1). Cependant, elle ne converge pas, car elle oscille entre -1 et 1 indéfiniment.

Contre-Exemples avec les Fonctions

Les fonctions offrent également de nombreuses opportunités pour utiliser le raisonnement par contre-exemple. On peut considérer des affirmations sur la continuité, la dérivabilité, les limites, ou le comportement à l'infini. Affirmation 1 : 'Si une fonction f est continue en un point a, alors elle est dérivable en a'. Contre-Exemple : La fonction f(x) = |x| est continue en x = 0. Cependant, elle n'est pas dérivable en x = 0. Sa dérivée à gauche est -1 et sa dérivée à droite est 1, donc la limite du taux d'accroissement n'existe pas. Affirmation 2 : 'Si une fonction f a une limite finie en +∞, alors elle est bornée'. Contre-Exemple : La fonction f(x) = sin(x) / x a une limite de 0 quand x tend vers +∞. Cependant, f(x) n'est pas bornée sur l'intervalle [0, 1]. En effet, quand x tend vers 0, sin(x)/x tend vers 1, mais sur [0,1] elle n'est pas bornée. Autre contre-exemple : f(x) = x * sin(x)/x. Elle tend vers 0 en +∞, mais elle n'est pas bornée car sin(x) oscille entre -1 et 1, et x tend vers +∞. Sa valeur absolue peut devenir aussi grande que l'on veut.

Conseils supplémentaires

• Lorsque vous cherchez des contre-exemples pour les suites, pensez aux suites oscillantes, aux suites qui convergent lentement, ou aux suites qui présentent des irrégularités.
• Pour les fonctions, explorez les fonctions avec des points anguleux, des discontinuités, ou des comportements asymptotiques particuliers.
• N'hésitez pas à faire des graphiques pour visualiser les suites ou les fonctions et identifier des cas potentiels de contre-exemples.

Ce qu'il faut retenir

• Le raisonnement par contre-exemple est particulièrement utile pour invalider des affirmations générales sur les suites et les fonctions.
• Pour les suites, cherchez des suites oscillantes, bornées mais non convergentes, ou convergentes mais non monotones.
• Pour les fonctions, explorez les fonctions non dérivables, non bornées, ou avec des comportements limites surprenants.
• La visualisation graphique peut aider à identifier des contre-exemples potentiels.