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Opérations sur les limites : Continuité et exemples avancés

Approfondissez votre compréhension des opérations sur les limites avec une focus sur la continuité des fonctions et des exemples plus complexes. Ce cours s'adresse aux lycéens avancés et couvre des notions comme les limites unilatérales et les fonctions définies par morceaux.

Rappel sur la Continuité

Une fonction f(x) est continue en un point x = a si :

  1. f(a) est définie
  2. limx→a f(x) existe
  3. limx→a f(x) = f(a)
La continuité est cruciale car elle permet d'évaluer les limites par substitution directe. Si une fonction est continue en un point, alors la limite en ce point est simplement la valeur de la fonction au point.

Opérations et Continuité

Théorème : Si f(x) et g(x) sont continues en x = a, alors les fonctions suivantes sont également continues en x = a :

  • f(x) + g(x)
  • f(x) - g(x)
  • f(x) * g(x)
  • f(x) / g(x), si g(a) ≠ 0

Explication : La continuité est préservée par les opérations arithmétiques, tant que la division par zéro est évitée.
Exemple : Soit f(x) = x2 et g(x) = sin(x). Ces deux fonctions sont continues sur ℝ. Donc, f(x) + g(x) = x2 + sin(x) est également continue sur ℝ.

Limites Unilatérales et Opérations

Les limites unilatérales considèrent le comportement d'une fonction lorsqu'on s'approche d'un point par la gauche (limite à gauche) ou par la droite (limite à droite). Les opérations sur les limites s'appliquent également aux limites unilatérales.
Définitions :

  • limx→a- f(x) : limite à gauche (x tend vers a par valeurs inférieures)
  • limx→a+ f(x) : limite à droite (x tend vers a par valeurs supérieures)

Exemple : Considerons la fonction définie par morceaux : f(x) = { x + 1 si x < 0, x2 si x ≥ 0 }
Calculons les limites unilatérales en x = 0 :
  • limx→0- f(x) = limx→0- (x + 1) = 1
  • limx→0+ f(x) = limx→0+ x2 = 0
Puisque les limites unilatérales sont différentes, la limite globale limx→0 f(x) n'existe pas.

Fonctions Définies par Morceaux et Opérations

Les fonctions définies par morceaux sont des fonctions qui ont différentes définitions sur différents intervalles. Le calcul des limites de ces fonctions nécessite une attention particulière aux points de jonction entre les intervalles.
Exemple : Considerons la fonction : f(x) = { 2x si x < 1, x + 1 si 1 ≤ x < 3, 5 si x ≥ 3 } Calculons les limites aux points de jonction x = 1 et x = 3.

  • En x = 1 : limx→1- f(x) = 2 * 1 = 2, limx→1+ f(x) = 1 + 1 = 2. Donc, limx→1 f(x) = 2 et f(1) = 1 + 1 = 2. La fonction est continue en x=1.
  • En x = 3 : limx→3- f(x) = 3 + 1 = 4, limx→3+ f(x) = 5. Puisque les limites unilatérales sont différentes, la limite limx→3 f(x) n'existe pas. La fonction est discontinue en x=3.

Exemple Avancé : Limite avec Racine Carrée

Calculons limx→4 [(√x - 2) / (x - 4)]. Si nous substituons directement, nous obtenons 0/0 (forme indéterminée). Nous pouvons rationaliser le numérateur en multipliant par la quantité conjuguée (√x + 2) :
limx→4 [(√x - 2) / (x - 4)] * [(√x + 2) / (√x + 2)] = limx→4 [(x - 4) / ((x - 4)(√x + 2))] = limx→4 [1 / (√x + 2)]
Maintenant, nous pouvons substituer x = 4 : limx→4 [1 / (√x + 2)] = 1 / (√4 + 2) = 1 / (2 + 2) = 1/4

Ce qu'il faut retenir

  • Continuité : Une fonction est continue en un point si la limite existe, la fonction est définie en ce point, et la limite est égale à la valeur de la fonction.
  • Opérations et Continuité : Les opérations arithmétiques préservent la continuité (sauf la division par zéro).
  • Limites Unilatérales : Les limites unilatérales sont importantes pour les fonctions définies par morceaux. La limite globale existe si et seulement si les limites unilatérales sont égales.
  • Rationalisation : La rationalisation peut être utilisée pour éliminer les formes indéterminées impliquant des racines carrées.
  • Fonctions Définies par Morceaux : Il est essentiel d'examiner les limites unilatérales aux points de jonction pour les fonctions définies par morceaux.

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FAQ

  • Comment savoir si une fonction définie par morceaux est continue ?

    Vérifiez la continuité aux points de jonction. Les limites unilatérales doivent être égales, et la valeur de la fonction au point de jonction doit être égale à cette limite.
  • Pourquoi rationaliser une expression lors du calcul d'une limite ?

    La rationalisation permet d'éliminer les formes indéterminées impliquant des racines carrées en transformant l'expression de manière à pouvoir substituer directement ou simplifier davantage.
  • Quelle est la différence entre une limite à gauche et une limite à droite ?

    Une limite à gauche considère le comportement de la fonction lorsqu'on s'approche d'un point par des valeurs inférieures, tandis qu'une limite à droite considère le comportement lorsqu'on s'approche du point par des valeurs supérieures.