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Règles de dérivation : Somme, Produit, Quotient, Composition

Maîtrisez les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composition) avec des explications claires, des exemples détaillés et des exercices corrigés. Ce guide complet est idéal pour les lycéens préparant leurs examens de mathématiques.

Dérivée d'une somme

La dérivée d'une somme de fonctions est égale à la somme des dérivées de ces fonctions. En d'autres termes, si nous avons deux fonctions u(x) et v(x), alors la dérivée de leur somme u(x) + v(x) est donnée par :

(u + v)' = u' + v'

Exemple :

Soit la fonction f(x) = x2 + sin(x). Nous avons u(x) = x2 et v(x) = sin(x). Donc, u'(x) = 2x et v'(x) = cos(x). Par conséquent, f'(x) = 2x + cos(x).

Dérivée d'un produit

La dérivée d'un produit de deux fonctions u(x) et v(x) est donnée par la règle suivante :

(u * v)' = u' * v + u * v'

Exemple :

Soit la fonction f(x) = x * cos(x). Nous avons u(x) = x et v(x) = cos(x). Donc, u'(x) = 1 et v'(x) = -sin(x). Par conséquent, f'(x) = 1 * cos(x) + x * (-sin(x)) = cos(x) - xsin(x).

Dérivée d'un quotient

La dérivée d'un quotient de deux fonctions u(x) et v(x) est donnée par la règle suivante :

(u / v)' = (u' * v - u * v') / v2

Attention : v(x) doit être différent de zéro pour que la fonction soit définie.

Exemple :

Soit la fonction f(x) = sin(x) / x. Nous avons u(x) = sin(x) et v(x) = x. Donc, u'(x) = cos(x) et v'(x) = 1. Par conséquent, f'(x) = (cos(x) * x - sin(x) * 1) / x2 = (xcos(x) - sin(x)) / x2.

Dérivée d'une composition (Chaîne)

La dérivée d'une composition de fonctions (règle de la chaîne) est utilisée lorsque nous avons une fonction à l'intérieur d'une autre. Si nous avons une fonction f(g(x)), sa dérivée est donnée par :

[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)

En d'autres termes, on dérive la fonction extérieure évaluée à la fonction intérieure, puis on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure.

Exemple :

Soit la fonction f(x) = (x2 + 1)3. Nous avons g(x) = x2 + 1 et f(u) = u3. Donc, g'(x) = 2x et f'(u) = 3u2. Par conséquent, f'(x) = 3(x2 + 1)2 * 2x = 6x(x2 + 1)2.

Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Voici un tableau récapitulatif des dérivées de quelques fonctions usuelles. Il est important de bien les connaître pour faciliter le calcul de dérivées plus complexes.

Fonction f(x)Dérivée f'(x)
c (constante)0
x1
xnn*xn-1
sin(x)cos(x)
cos(x)-sin(x)
exex
ln(x)1/x

Ce qu'il faut retenir

  • Dérivée d'une somme : (u + v)' = u' + v'
  • Dérivée d'un produit : (u * v)' = u' * v + u * v'
  • Dérivée d'un quotient : (u / v)' = (u' * v - u * v') / v2
  • Dérivée d'une composition (chaîne) : [f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)
  • Connaître les dérivées des fonctions usuelles (xn, sin(x), cos(x), ex, ln(x)).

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FAQ

  • Quand dois-je utiliser la règle de la chaîne ?

    La règle de la chaîne s'applique lorsque vous devez dériver une fonction composée, c'est-à-dire une fonction à l'intérieur d'une autre.
  • Comment puis-je me souvenir de la formule de la dérivée d'un quotient ?

    Une façon de se souvenir est de penser 'dérivée du haut fois le bas moins le haut fois la dérivée du bas, le tout divisé par le bas au carré'.