Théorème de Pythagore et sa réciproque : Guide complet

Introduction au Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore est un pilier fondamental de la géométrie euclidienne. Il établit une relation essentielle entre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle. Comprendre ce théorème est crucial pour de nombreux domaines des mathématiques et de la physique.

Énoncé du Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les côtés adjacents à l'angle droit, appelés cathètes).

Si on appelle a et b les longueurs des deux côtés de l'angle droit, et c la longueur de l'hypoténuse, alors le théorème de Pythagore s'énonce ainsi :

a² + b² = c²

Illustration Visuelle et Exemples Concrets

Imaginez un triangle rectangle. Construisons un carré sur chaque côté. L'aire du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des aires des carrés construits sur les deux autres côtés.

Exemple 1: Un triangle rectangle a des côtés de longueurs 3 cm et 4 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

Solution:

Appliquons le théorème de Pythagore: 3² + 4² = c²

9 + 16 = c²

25 = c²

c = √25 = 5 cm

Exemple 2: Un triangle rectangle a une hypoténuse de longueur 13 cm et un côté de longueur 5 cm. Quelle est la longueur de l'autre côté ?

Solution:

Appliquons le théorème de Pythagore: 5² + b² = 13²

25 + b² = 169

b² = 169 - 25

b² = 144

b = √144 = 12 cm

Démonstration du Théorème de Pythagore

Il existe de nombreuses démonstrations du théorème de Pythagore. Une des plus courantes utilise l'aire d'un carré. Prenons un carré de côté (a + b) et divisons-le en quatre triangles rectangles identiques de côtés a et b, et un carré central de côté c.

L'aire du grand carré est (a + b)² = a² + 2ab + b².

L'aire du grand carré est aussi égale à la somme des aires des quatre triangles et du carré central : 4 * (1/2 * ab) + c² = 2ab + c².

En égalisant les deux expressions, on obtient : a² + 2ab + b² = 2ab + c².

En simplifiant, on obtient : a² + b² = c².

Réciproque du Théorème de Pythagore

La réciproque du théorème de Pythagore est également très importante. Elle permet de déterminer si un triangle est rectangle en connaissant les longueurs de ses côtés.

Énoncé: Si dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Si a² + b² = c², où c est le plus grand côté, alors le triangle est rectangle, et c est l'hypoténuse.

Utilisation de la Réciproque : Exemples

Exemple 1: Un triangle a des côtés de longueurs 6 cm, 8 cm et 10 cm. Est-il rectangle ?

Solution:

Le plus grand côté est 10 cm. Vérifions si 6² + 8² = 10².

36 + 64 = 100

100 = 100

Donc, le triangle est rectangle.

Exemple 2: Un triangle a des côtés de longueurs 4 cm, 5 cm et 6 cm. Est-il rectangle ?

Solution:

Le plus grand côté est 6 cm. Vérifions si 4² + 5² = 6².

16 + 25 = 36

41 ≠ 36

Donc, le triangle n'est pas rectangle.

Applications Pratiques

Le théorème de Pythagore et sa réciproque ont de nombreuses applications pratiques, notamment en architecture, en navigation, et en ingénierie.

• Architecture: Calculer la longueur d'une diagonale pour s'assurer que les angles d'un bâtiment sont droits.
• Navigation: Déterminer la distance entre deux points en utilisant les coordonnées géographiques.
• Ingénierie: Calculer la force nécessaire pour soutenir une structure en tenant compte des angles et des distances.

Erreurs Fréquentes et Pièges à Éviter

Voici quelques erreurs courantes à éviter lors de l'utilisation du théorème de Pythagore et de sa réciproque:

• Confusion entre l'hypoténuse et les cathètes: Assurez-vous d'identifier correctement l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit) avant d'appliquer le théorème.
• Oublier de prendre la racine carrée: Après avoir calculé la somme des carrés des côtés, n'oubliez pas de prendre la racine carrée pour obtenir la longueur de l'hypoténuse.
• Appliquer le théorème à des triangles non rectangles: Le théorème de Pythagore ne s'applique qu'aux triangles rectangles.
• Mauvaise utilisation de la réciproque: Vérifiez toujours que la somme des carrés des deux plus petits côtés est égale au carré du plus grand côté pour conclure que le triangle est rectangle.

Ce qu'il faut retenir

• Théorème de Pythagore: Dans un triangle rectangle, a² + b² = c², où c est l'hypoténuse.
• Réciproque du théorème de Pythagore: Si dans un triangle, a² + b² = c², alors le triangle est rectangle.
• Le théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle si l'on connaît les longueurs des deux autres côtés.
• La réciproque du théorème de Pythagore permet de déterminer si un triangle est rectangle en connaissant les longueurs de ses trois côtés.
• Applications pratiques en architecture, navigation et ingénierie.