Mathématiques > Nombres Complexes (Terminale) > Introduction aux Nombres Complexes > Division de nombres complexes

Division des nombres complexes

Apprenez à diviser les nombres complexes étape par étape. Ce cours détaille la méthode avec des exemples pour faciliter la compréhension en Terminale.

Nombres complexes comme outil algébrique et géométrique pour résoudre équations et transformations
Division des nombres complexes

Introduction à la division des nombres complexes

La division des nombres complexes est une opération qui peut sembler complexe au premier abord, mais qui repose sur une idée simple : se débarrasser de la partie imaginaire au dénominateur. Pour ce faire, on utilise le conjugué du dénominateur. Rappelons qu'un nombre complexe se présente sous la forme z = a + bi, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire. Le conjugué de z, noté z̄, est alors z̄ = a - bi. Le produit d'un nombre complexe par son conjugué donne un nombre réel : z * z̄ = (a + bi)(a - bi) = a2 + b2.

Méthode de division

Pour diviser deux nombres complexes, disons z1 = a + bi et z2 = c + di, on procède comme suit :

  1. Écrire la division sous forme de fraction : z1 / z2 = (a + bi) / (c + di).
  2. Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur : [(a + bi) * (c - di)] / [(c + di) * (c - di)].
  3. Développer et simplifier le numérateur et le dénominateur. Rappelez-vous que i2 = -1.
  4. Écrire le résultat sous la forme x + yi, où x est la partie réelle et y la partie imaginaire.

Exemple 1

Divisons z1 = 3 + 4i par z2 = 1 - 2i.

  1. On écrit la fraction : (3 + 4i) / (1 - 2i).
  2. On multiplie par le conjugué du dénominateur (qui est 1 + 2i) : [(3 + 4i)(1 + 2i)] / [(1 - 2i)(1 + 2i)].
  3. On développe le numérateur : 3 + 6i + 4i + 8i2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i.
  4. On développe le dénominateur : 1 + 2i - 2i - 4i2 = 1 + 4 = 5.
  5. On simplifie : (-5 + 10i) / 5 = -1 + 2i.
Donc, (3 + 4i) / (1 - 2i) = -1 + 2i.

Exemple 2

Divisons z1 = 2 - i par z2 = 3 + i.

  1. On écrit la fraction : (2 - i) / (3 + i).
  2. On multiplie par le conjugué du dénominateur (qui est 3 - i) : [(2 - i)(3 - i)] / [(3 + i)(3 - i)].
  3. On développe le numérateur : 6 - 2i - 3i + i2 = 6 - 5i - 1 = 5 - 5i.
  4. On développe le dénominateur : 9 - 3i + 3i - i2 = 9 + 1 = 10.
  5. On simplifie : (5 - 5i) / 10 = 1/2 - 1/2 i.
Donc, (2 - i) / (3 + i) = 1/2 - 1/2 i.

Astuces et Précautions

  • Toujours multiplier par le conjugué du dénominateur. C'est crucial!
  • Faites attention aux signes, surtout avec les i2.
  • Simplifiez au maximum votre résultat final.

Ce qu'il faut retenir

  • La division de nombres complexes nécessite de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • Le conjugué de a + bi est a - bi.
  • (a + bi)(a - bi) = a2 + b2, un nombre réel.
  • Après multiplication et simplification, le résultat doit être exprimé sous la forme x + yi.

← Introduction aux Nombres Complexes: Définition et Forme Algébrique Forme Exponentielle d'un Nombre Complexe →

FAQ

  • Pourquoi multiplie-t-on par le conjugué du dénominateur ?

    Multiplier par le conjugué du dénominateur permet d'éliminer la partie imaginaire au dénominateur, ce qui rend la fraction plus simple à manipuler et à exprimer sous la forme a + bi.
  • Que se passe-t-il si le dénominateur est un nombre réel ?

    Si le dénominateur est un nombre réel, la division est plus simple. Il suffit de diviser la partie réelle et la partie imaginaire du numérateur par ce nombre réel.
  • Peut-on diviser un nombre complexe par zéro ?

    Non, la division par zéro n'est pas définie dans l'ensemble des nombres complexes, tout comme dans l'ensemble des nombres réels.