Calcul Pratique des Limites: Exemples et Techniques

Substitution Directe

La technique la plus simple pour calculer une limite est la substitution directe. Si la fonction est continue au point où l'on cherche la limite, on peut simplement remplacer la variable par la valeur vers laquelle elle tend. Par exemple, pour calculer lim (x→2) (x² + 3), on remplace x par 2 : 2² + 3 = 7. Donc, lim (x→2) (x² + 3) = 7. Cette méthode fonctionne bien pour les polynômes et certaines fonctions trigonométriques dans leurs domaines de définition.

Factorisation et Simplification

Souvent, la substitution directe conduit à une forme indéterminée comme 0/0. Dans ce cas, on peut essayer de factoriser l'expression et de simplifier. Par exemple, considérons lim (x→3) (x² - 9) / (x - 3). Si on substitue directement, on obtient 0/0. On peut factoriser le numérateur : x² - 9 = (x - 3)(x + 3). Donc, (x² - 9) / (x - 3) = (x - 3)(x + 3) / (x - 3). Pour x ≠ 3, on peut simplifier par (x - 3), ce qui donne x + 3. Ainsi, lim (x→3) (x² - 9) / (x - 3) = lim (x→3) (x + 3) = 3 + 3 = 6.

Rationalisation

Lorsque l'expression contient des racines carrées, on peut utiliser la rationalisation pour se débarrasser de la forme indéterminée. Par exemple, considérons lim (x→0) (√(x + 4) - 2) / x. Si on substitue directement, on obtient 0/0. On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur : (√(x + 4) + 2). On obtient : [(√(x + 4) - 2) * (√(x + 4) + 2)] / [x * (√(x + 4) + 2)] = (x + 4 - 4) / [x * (√(x + 4) + 2)] = x / [x * (√(x + 4) + 2)]. Pour x ≠ 0, on peut simplifier par x, ce qui donne 1 / (√(x + 4) + 2). Ainsi, lim (x→0) (√(x + 4) - 2) / x = lim (x→0) 1 / (√(x + 4) + 2) = 1 / (√(0 + 4) + 2) = 1 / (2 + 2) = 1/4.

Utilisation des Limites Remarquables

Certaines limites sont considérées comme des limites remarquables et peuvent être utilisées directement pour simplifier le calcul d'autres limites. Par exemple, lim (x→0) sin(x) / x = 1. On peut utiliser cette limite pour calculer des limites plus complexes impliquant des fonctions trigonométriques. Un autre exemple est lim (x→0) (e^x - 1) / x = 1.

Théorème des Gendarmes (ou de l'Encadrement)

Le théorème des gendarmes (ou de l'encadrement) est utile lorsque l'on ne peut pas calculer directement la limite d'une fonction, mais que l'on peut l'encadrer entre deux autres fonctions dont on connaît les limites. Si deux fonctions f(x) et h(x) tendent vers la même limite L lorsque x tend vers a, et que g(x) est une fonction telle que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) pour x proche de a, alors g(x) tend également vers L lorsque x tend vers a. Par exemple, on peut utiliser ce théorème pour montrer que lim (x→0) x * sin(1/x) = 0, car -|x| ≤ x * sin(1/x) ≤ |x| et lim (x→0) -|x| = lim (x→0) |x| = 0.

Limites à l'Infini

Pour calculer les limites lorsque x tend vers l'infini (∞) ou moins l'infini (-∞), on peut diviser le numérateur et le dénominateur par la plus haute puissance de x présente dans l'expression. Par exemple, considérons lim (x→∞) (3x² + 2x + 1) / (x² + 5x - 2). On divise chaque terme par x² : [3 + 2/x + 1/x²] / [1 + 5/x - 2/x²]. Lorsque x tend vers l'infini, 2/x, 1/x², 5/x et 2/x² tendent vers 0. Donc, lim (x→∞) (3x² + 2x + 1) / (x² + 5x - 2) = (3 + 0 + 0) / (1 + 0 - 0) = 3/1 = 3.

Ce qu'il faut retenir

• Substitution directe: Remplacer la variable par la valeur vers laquelle elle tend (si la fonction est continue).
• Factorisation et simplification: Utile pour les formes indéterminées 0/0.
• Rationalisation: Multiplier par le conjugué pour éliminer les racines carrées et simplifier.
• Limites remarquables: Utiliser les limites connues comme sin(x)/x pour simplifier.
• Théorème des gendarmes: Encadrer la fonction entre deux fonctions dont on connaît les limites.
• Limites à l'infini: Diviser par la plus haute puissance de x.