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Exercices Corrigés : Détermination du Signe d'un Polynôme du Second Degré

Entraînez-vous à déterminer le signe d'un polynôme du second degré avec ces exercices corrigés. Comprenez comment appliquer le discriminant et construire le tableau de signe.

Exercice 1

Déterminez le signe du polynôme 2x2 - 4x - 6. Solution : 1. On identifie les coefficients: a = 2, b = -4, c = -6. 2. On calcule le discriminant: Δ = (-4)2 - 4 * 2 * (-6) = 16 + 48 = 64. 3. Puisque Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes. 4. On calcule les racines: x1 = (4 - √64) / (2 * 2) = (4 - 8) / 4 = -1 et x2 = (4 + √64) / (2 * 2) = (4 + 8) / 4 = 3. 5. Puisque a = 2 > 0, le polynôme est positif pour x < -1 et x > 3, et négatif pour -1 < x < 3. Tableau de signe:

x-∞-13+∞
2x2 - 4x - 6+0-0+

Exercice 2

Déterminez le signe du polynôme -x2 + 6x - 9. Solution : 1. On identifie les coefficients: a = -1, b = 6, c = -9. 2. On calcule le discriminant: Δ = 62 - 4 * (-1) * (-9) = 36 - 36 = 0. 3. Puisque Δ = 0, il y a une seule racine réelle. 4. On calcule la racine: x0 = -6 / (2 * -1) = 3. 5. Puisque a = -1 < 0, le polynôme est négatif pour toutes les valeurs de x sauf en x = 3 où il est nul. Tableau de signe:

x-∞3+∞
-x2 + 6x - 9-0-

Exercice 3

Déterminez le signe du polynôme x2 + 2x + 5. Solution : 1. On identifie les coefficients: a = 1, b = 2, c = 5. 2. On calcule le discriminant: Δ = 22 - 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16. 3. Puisque Δ < 0, il n'y a pas de racine réelle. 4. Puisque a = 1 > 0, le polynôme est positif pour toutes les valeurs de x. Tableau de signe:

x-∞+∞
x2 + 2x + 5+

Ce qu'il faut retenir

  • Identifier les coefficients a, b et c du polynôme.
  • Calculer le discriminant Δ = b2 - 4ac.
  • Déterminer le nombre et la valeur des racines en fonction de Δ.
  • Construire le tableau de signe en tenant compte du signe de a et des racines.

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FAQ

  • Comment vérifier si j'ai bien calculé les racines ?

    Vous pouvez vérifier vos calculs en remplaçant les valeurs des racines dans le polynôme. Le résultat doit être égal à zéro.
  • Que faire si je me trompe dans le calcul du discriminant ?

    Une erreur dans le calcul du discriminant peut conduire à une conclusion erronée sur le nombre de racines. Vérifiez attentivement vos calculs avant de poursuivre.