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Exercices classiques de dérivation et d'étude de fonctions pour le Bac

Une sélection d'exercices incontournables sur la dérivation et l'étude de fonctions, spécialement conçus pour les élèves préparant le Baccalauréat en Mathématiques. Ces exercices, avec leurs corrections détaillées, vous permettront de maîtriser les techniques essentielles et d'améliorer votre performance.

Exercice 1 : Calcul de dérivées

Énoncé: Calculer la dérivée des fonctions suivantes:

  1. f(x) = x3 - 4x2 + 5x - 2
  2. g(x) = (3x + 1) / (x - 2)
  3. h(x) = √(2x + 3)
  4. k(x) = x * sin(x)

Correction:

  1. f'(x) = 3x2 - 8x + 5
  2. g'(x) = [3(x - 2) - (3x + 1)] / (x - 2)2 = (3x - 6 - 3x - 1) / (x - 2)2 = -7 / (x - 2)2
  3. h'(x) = 1 / (2√(2x + 3)) * 2 = 1 / √(2x + 3)
  4. k'(x) = sin(x) + x * cos(x)

Exercice 2 : Étude d'une fonction

Énoncé: Étudier la fonction f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 1:

  1. Déterminer le domaine de définition de f.
  2. Calculer la dérivée f'(x).
  3. Étudier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f.
  4. Déterminer les extremums locaux de f.
  5. Calculer les limites de f aux bornes de son domaine de définition.
  6. Dresser le tableau de variations complet de f.

Correction:

  1. Le domaine de définition de f est ℝ (tous les nombres réels).
  2. f'(x) = 3x2 - 6x - 9 = 3(x2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)
  3. Le signe de f'(x) dépend du signe de (x - 3)(x + 1): - f'(x) > 0 si x < -1 ou x > 3 (f est croissante) - f'(x) < 0 si -1 < x < 3 (f est décroissante)
  4. Les extremums locaux sont en x = -1 et x = 3: - Maximum local en x = -1: f(-1) = (-1)3 - 3(-1)2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6 - Minimum local en x = 3: f(3) = (3)3 - 3(3)2 - 9(3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26
  5. Limites aux bornes du domaine: - limx→-∞ f(x) = -∞ - limx→+∞ f(x) = +∞
  6. Tableau de variations: | x | -∞ | -1 | 3 | +∞ | | -------- | ----------- | ----------- | ----------- | ----------- | | f'(x) | + | 0 | - | 0 | | f(x) | -∞ ↗ | 6 | -26 ↘ | +∞ |

Exercice 3 : Problème d'optimisation

Énoncé: On souhaite construire un rectangle d'aire maximale dont le périmètre est égal à 20 cm. Quelles doivent être les dimensions de ce rectangle?

Correction:

Soit l et L la largeur et la longueur du rectangle, respectivement. Le périmètre est 2(l + L) = 20, donc l + L = 10, et L = 10 - l.

L'aire du rectangle est A = l * L = l * (10 - l) = 10l - l2.

Pour maximiser l'aire, on cherche le maximum de la fonction A(l) = 10l - l2.

On calcule la dérivée: A'(l) = 10 - 2l.

On cherche les points critiques: A'(l) = 0 ⇔ 10 - 2l = 0 ⇔ l = 5.

On calcule la seconde dérivée: A''(l) = -2. Puisque A''(5) = -2 < 0, l = 5 est un maximum.

Si l = 5, alors L = 10 - l = 10 - 5 = 5.

Donc, le rectangle d'aire maximale est un carré de côté 5 cm.

Ce qu'il faut retenir

  • Dérivées usuelles: xn → nxn-1, sin(x) → cos(x), cos(x) → -sin(x), ex → ex, ln(x) → 1/x
  • Règles de dérivation: (u+v)' = u' + v', (uv)' = u'v + uv', (u/v)' = (u'v - uv')/v2, (u(v(x)))' = v'(x) * u'(v(x))
  • Étude de fonctions: Domaine de définition, dérivée, signe de la dérivée (croissance/décroissance), extremums, limites.
  • Tableau de variations: Représentation synthétique du comportement de la fonction.

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FAQ

  • Comment trouver les extremums d'une fonction?

    Il faut calculer la dérivée de la fonction, trouver les points où la dérivée est égale à zéro (points critiques), puis étudier le signe de la dérivée autour de ces points pour déterminer si ce sont des maximums ou des minimums.
  • Quelle est l'importance du tableau de variations?

    Le tableau de variations permet de résumer l'ensemble des informations importantes sur une fonction: son domaine de définition, ses variations (croissance/décroissance), ses extremums locaux et ses limites aux bornes du domaine.