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Fonctions Affines : Guide Complet et Exemples

Découvrez tout ce que vous devez savoir sur les fonctions affines : définition, propriétés, représentation graphique, et applications. Un cours complet avec exemples et exercices pour le lycée.

Structures algébriques du lycée : équations, fonctions, suites et polynômes pour modéliser et résoudre
Fonctions Affines : Guide Complet et Exemples

Définition et Forme Générale

La fonction affine est un concept fondamental en algèbre. Elle représente une relation linéaire entre deux variables. Définition : Une fonction f est dite affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels.

  • a est le coefficient directeur (ou pente) : Il indique la variation de f(x) pour chaque unité de variation de x. Un a positif signifie une fonction croissante, un a négatif une fonction décroissante, et a nul une fonction constante.
  • b est l'ordonnée à l'origine : C'est la valeur de f(x) lorsque x = 0. Graphiquement, c'est le point où la droite représentant la fonction coupe l'axe des ordonnées.

Exemple : f(x) = 2x + 3 est une fonction affine où a = 2 et b = 3.

Représentation Graphique

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Pour tracer cette droite, il suffit de connaître deux points.

Méthode :

  1. Choisissez deux valeurs de x (par exemple, x = 0 et x = 1).
  2. Calculez les valeurs correspondantes de f(x).
  3. Placez les deux points obtenus dans un repère.
  4. Tracez la droite passant par ces deux points.

Exemple : Pour f(x) = 2x + 3 :
  • Si x = 0, alors f(0) = 2*0 + 3 = 3. Point (0, 3).
  • Si x = 1, alors f(1) = 2*1 + 3 = 5. Point (1, 5).
Tracez la droite passant par (0, 3) et (1, 5).

Note : Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine où b = 0. Sa représentation graphique passe toujours par l'origine (0, 0).

Détermination de l'Équation d'une Fonction Affine

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer l'équation d'une fonction affine (trouver a et b) :

1. À partir de deux points :
Si on connaît deux points de la droite, par exemple (x1, y1) et (x2, y2), on peut calculer le coefficient directeur a comme suit :

a = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Une fois a trouvé, on peut utiliser l'un des deux points pour trouver b en remplaçant x et f(x) dans l'équation f(x) = ax + b.

Exemple : Soit les points (1, 5) et (2, 7).
a = (7 - 5) / (2 - 1) = 2.
En utilisant le point (1, 5) : 5 = 2*1 + b, donc b = 3.
L'équation de la fonction affine est donc f(x) = 2x + 3.

2. À partir du coefficient directeur et d'un point :
Si on connaît le coefficient directeur a et un point (x0, y0), on peut directement remplacer a, x et f(x) dans l'équation f(x) = ax + b pour trouver b.

Exemple : Si a = -1 et la droite passe par (0, 4).
4 = -1*0 + b, donc b = 4.
L'équation de la fonction affine est f(x) = -x + 4.

Sens de Variation

Le signe du coefficient directeur a détermine le sens de variation de la fonction affine :

  • Si a > 0, la fonction est croissante. Quand x augmente, f(x) augmente aussi.
  • Si a < 0, la fonction est décroissante. Quand x augmente, f(x) diminue.
  • Si a = 0, la fonction est constante. f(x) est toujours égale à b, quelle que soit la valeur de x. La droite est horizontale.

Exemple :
  • f(x) = 3x + 1 est croissante car a = 3 > 0.
  • f(x) = -2x + 5 est décroissante car a = -2 < 0.
  • f(x) = 4 est constante car a = 0.

Applications des Fonctions Affines

Les fonctions affines ont de nombreuses applications dans la vie réelle, notamment en physique, en économie et en statistique.

Exemples :

  • Calcul d'un coût : Le coût total d'un service peut être une fonction affine du nombre d'unités utilisées (par exemple, le coût d'une course en taxi en fonction de la distance parcourue).
  • Conversion d'unités : La conversion de Celsius en Fahrenheit est une fonction affine (F = (9/5)C + 32).
  • Modélisation linéaire : Les fonctions affines peuvent être utilisées pour modéliser des relations linéaires entre deux variables dans des données statistiques.

Exercice : Un taxi facture une prise en charge de 2€ et 0.50€ par kilomètre. Exprimez le coût total de la course en fonction du nombre de kilomètres parcourus. Quelle est la fonction affine qui représente cette situation ?
Réponse : f(x) = 0.5x + 2

Ce qu'il faut retenir

  • Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
  • La représentation graphique d'une fonction affine est une droite.
  • Le coefficient directeur a détermine le sens de variation de la fonction : croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0.
  • On peut déterminer l'équation d'une fonction affine à partir de deux points, ou à partir du coefficient directeur et d'un point.
  • Les fonctions affines ont de nombreuses applications pratiques.

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FAQ

  • Comment identifier une fonction affine ?

    Une fonction est affine si elle peut s'écrire sous la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres réels. Si vous pouvez exprimer la relation entre x et f(x) sous cette forme, alors c'est une fonction affine.
  • Quelle est la différence entre une fonction affine et une fonction linéaire ?

    Une fonction linéaire est un cas particulier d'une fonction affine où b = 0. Donc, une fonction linéaire s'écrit f(x) = ax et sa représentation graphique passe par l'origine (0, 0).
  • Comment tracer rapidement la droite représentant une fonction affine ?

    Il suffit de calculer les coordonnées de deux points. Choisissez deux valeurs simples pour x (par exemple, 0 et 1), calculez les valeurs correspondantes de f(x), placez ces deux points dans un repère, et tracez la droite qui les relie.