Mathématiques > Algèbre > Fonctions > Sens de variation et extrema d'une fonction

Exercices corrigés : Maîtriser le sens de variation et les extrema des fonctions

Entraînez-vous à déterminer le sens de variation et les extrema des fonctions grâce à une série d'exercices corrigés pas à pas. Idéal pour renforcer vos compétences et préparer vos examens.

Exercice 1: Étude complète d'une fonction polynomiale du second degré

Énoncé: Étudier le sens de variation et déterminer les extrema de la fonction f(x) = -x2 + 6x - 5.

  • Solution:
  • 1. Dérivée: f'(x) = -2x + 6
  • 2. Points critiques: f'(x) = 0 => -2x + 6 = 0 => x = 3
  • 3. Signe de la dérivée:
    • Pour x < 3, f'(x) > 0
    • Pour x > 3, f'(x) < 0
  • 4. Tableau de variation:
    x-∞3+∞
    f'(x)+0-
    f(x)↗4 (Maximum)↘
  • Conclusion: La fonction est croissante sur ]-∞, 3] et décroissante sur [3, +∞[. Elle admet un maximum global en x=3 de valeur f(3) = 4.

Exercice 2: Étude d'une fonction rationnelle

Énoncé: Étudier le sens de variation et déterminer les extrema de la fonction f(x) = (x + 1) / (x - 2).

  • Solution:
  • 1. Dérivée: f'(x) = -3 / (x - 2)2 (Utiliser la formule de dérivation d'un quotient)
  • 2. Points critiques: f'(x) n'est jamais égale à zéro. Par contre, la fonction n'est pas définie en x = 2 (valeur interdite).
  • 3. Signe de la dérivée: f'(x) est toujours négative (sauf en x=2 où elle n'est pas définie).
  • 4. Tableau de variation:
    x-∞2+∞
    f'(x)-||-
    f(x)↘||↘
  • Conclusion: La fonction est décroissante sur ]-∞, 2[ et sur ]2, +∞[. Elle n'admet aucun extremum.

Exercice 3: Étude d'une fonction avec une racine carrée

Énoncé: Étudier le sens de variation et déterminer les extrema de la fonction f(x) = √(4 - x2) sur l'intervalle [-2, 2].

  • Solution:
  • 1. Dérivée: f'(x) = -x / √(4 - x2) (Utiliser la formule de dérivation d'une fonction composée)
  • 2. Points critiques: f'(x) = 0 => -x = 0 => x = 0. Il faut aussi considérer les bornes de l'intervalle: x = -2 et x = 2.
  • 3. Signe de la dérivée:
    • Pour -2 < x < 0, f'(x) > 0
    • Pour 0 < x < 2, f'(x) < 0
  • 4. Tableau de variation:
    x-202
    f'(x)+0-
    f(x)↗2 (Maximum)↘
  • Conclusion: La fonction est croissante sur [-2, 0] et décroissante sur [0, 2]. Elle admet un maximum global en x=0 de valeur f(0) = 2. Elle admet aussi des minimums en x=-2 et x=2 de valeur f(-2)=f(2)=0.

Ce qu'il faut retenir

  • La pratique est essentielle pour maîtriser le sens de variation et les extrema.
  • Appliquez rigoureusement les étapes: dérivée, points critiques, signe de la dérivée, tableau de variation.
  • N'oubliez pas de considérer les bornes de l'intervalle lors de la recherche des extrema globaux.

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FAQ

  • Pourquoi est-il important d'étudier le domaine de définition d'une fonction avant de calculer sa dérivée?

    Le domaine de définition indique les valeurs pour lesquelles la fonction est définie. La dérivée n'existe que si la fonction est définie. Ignorer le domaine de définition peut mener à des conclusions erronées sur le sens de variation et les extrema.
  • Comment gérer les fonctions définies par morceaux dans l'étude du sens de variation?

    Il faut étudier chaque morceau séparément, en déterminant la dérivée et le sens de variation sur chaque intervalle. Vérifiez la continuité et la dérivabilité aux points de jonction entre les morceaux. Le tableau de variation doit refléter le comportement de la fonction sur tous les intervalles.