Inverse d'une matrice carrée : Définitions, méthodes et exemples

Définition de l'inverse d'une matrice

Une matrice carrée A d'ordre n est dite inversible (ou régulière) s'il existe une matrice carrée B d'ordre n telle que:

A × B = B × A = I_n

Où I_n est la matrice identité d'ordre n.

La matrice B est alors appelée l'inverse de A et est notée A^-1.

En résumé : Si A est inversible, alors A × A^-1 = A^-1 × A = I_n.

Condition d'inversibilité

Une matrice carrée A est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. En d'autres termes :

A est inversible ⇔ det(A) ≠ 0

Si det(A) = 0, alors la matrice A n'est pas inversible et est dite singulière.

Calcul de l'inverse d'une matrice 2x2

Pour une matrice 2x2 A =

a	b
c	d

son inverse est donnée par :

A^-1 = (1/det(A)) ×

d	-b
-c	a

Où det(A) = ad - bc.

Exemple :

Soit la matrice A =

2	1
3	4

det(A) = (2 × 4) - (1 × 3) = 8 - 3 = 5.

A^-1 = (1/5) ×

4	-1
-3	2

A^-1 =

4/5	-1/5
-3/5	2/5

Calcul de l'inverse d'une matrice 3x3 (Méthode de Gauss-Jordan)

La méthode de Gauss-Jordan est une méthode générale pour calculer l'inverse d'une matrice, quelle que soit sa taille. Voici les étapes pour une matrice 3x3:

1. Former la matrice augmentée : Écrivez la matrice A et à sa droite, la matrice identité I₃. Cela donne une matrice [A | I₃].

2. Appliquer des opérations élémentaires sur les lignes : Le but est de transformer la matrice A en la matrice identité I₃. Les opérations autorisées sont :

• Échanger deux lignes.
• Multiplier une ligne par un scalaire non nul.
• Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ligne.

3. Lire l'inverse : Une fois que la matrice A est transformée en I₃, la matrice à droite (initialement I₃) est devenue A^-1. Donc, la matrice finale est [I₃ | A^-1].

Exemple :

Soit la matrice A =

1	2	3
0	1	4
5	6	0

On forme la matrice augmentée :

[A | I₃] =

1	2	3	|	1	0	0
0	1	4	|	0	1	0
5	6	0	|	0	0	1

En appliquant les opérations élémentaires (qui ne sont pas détaillées ici pour simplifier), on arrive à :

[I₃ | A^-1] =

1	0	0	|	-24	18	5
0	1	0	|	20	-15	-4
0	0	1	|	-5	4	1

Donc, l'inverse de A est :

A^-1 =

-24	18	5
20	-15	-4
-5	4	1

Ce qu'il faut retenir

• Une matrice carrée A est inversible s'il existe une matrice A^-1 telle que A × A^-1 = A^-1 × A = I.
• Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
• Pour une matrice 2x2, l'inverse peut être calculé directement à partir du déterminant et d'une permutation/changement de signe des éléments.
• La méthode de Gauss-Jordan est une méthode générale pour trouver l'inverse d'une matrice de toute taille.