Mathématiques > Arithmétique (Terminale - Spécialité) > Divisibilité et Nombres Premiers > PGCD et PPCM

Exercices Corrigés : Application du PGCD et du PPCM

Entraînez-vous avec une série d'exercices corrigés pour maîtriser le calcul du PGCD et du PPCM. Des exemples variés pour une compréhension approfondie.

Exercice 1 : Calcul du PGCD

Énoncé : Calculer le PGCD de 72 et 108 en utilisant l'algorithme d'Euclide.

Solution :

  • 108 = 1 * 72 + 36
  • 72 = 2 * 36 + 0
Le dernier reste non nul est 36. Donc, PGCD(72, 108) = 36.

Exercice 2 : Calcul du PPCM

Énoncé : Calculer le PPCM de 15 et 20.

Solution :

  • On trouve d'abord le PGCD de 15 et 20 :
    • 20 = 1 * 15 + 5
    • 15 = 3 * 5 + 0
  • Donc PGCD(15, 20) = 5.
  • On utilise la formule PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b) :
  • PPCM(15, 20) = (15 * 20) / 5 = 300 / 5 = 60.
Donc PPCM(15, 20) = 60.

Exercice 3 : PGCD et nombres premiers entre eux

Énoncé : Les nombres 24 et 35 sont-ils premiers entre eux ?

Solution :

  • Calculons le PGCD de 24 et 35 :
    • 35 = 1 * 24 + 11
    • 24 = 2 * 11 + 2
    • 11 = 5 * 2 + 1
    • 2 = 2 * 1 + 0
  • Le dernier reste non nul est 1. Donc, PGCD(24, 35) = 1.
Conclusion : Les nombres 24 et 35 sont premiers entre eux.

Exercice 4 : Application : Problème concret

Énoncé : Un fleuriste a 36 roses et 48 tulipes. Il veut faire des bouquets identiques contenant le même nombre de roses et de tulipes. Quel est le nombre maximal de bouquets qu'il peut faire ? Combien de roses et de tulipes y aura-t-il dans chaque bouquet ?

Solution :

  • On cherche le PGCD de 36 et 48 :
    • 48 = 1 * 36 + 12
    • 36 = 3 * 12 + 0
  • Donc PGCD(36, 48) = 12.
  • Le fleuriste peut faire au maximum 12 bouquets.
  • Chaque bouquet contiendra 36 / 12 = 3 roses et 48 / 12 = 4 tulipes.

Exercice 5 : Simplification de fractions

Énoncé : Simplifier la fraction 168/252.

Solution :

  • Calculons le PGCD de 168 et 252 :
    • 252 = 1 * 168 + 84
    • 168 = 2 * 84 + 0
  • Donc PGCD(168, 252) = 84.
  • Divisons le numérateur et le dénominateur par leur PGCD :
    • 168 / 84 = 2
    • 252 / 84 = 3
  • La fraction simplifiée est 2/3.

Ce qu'il faut retenir

  • L'algorithme d'Euclide est fondamental pour calculer le PGCD.
  • La formule PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b) relie le PGCD et le PPCM.
  • Comprendre le PGCD et le PPCM permet de résoudre des problèmes concrets, comme la simplification de fractions ou la répartition de ressources.

← Décomposition en facteurs premiers : Une exploration complète Les Applications Surprenantes des Nombres Premiers →

FAQ

  • Pourquoi l'algorithme d'Euclide fonctionne-t-il ?

    L'algorithme d'Euclide fonctionne car PGCD(a, b) = PGCD(b, r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. En remplaçant a et b par des nombres plus petits à chaque étape, on finit par obtenir un reste de zéro, et le PGCD est le dernier reste non nul.
  • Dans quels cas le PGCD et le PPCM sont-ils égaux ?

    Le PGCD et le PPCM de deux nombres sont égaux seulement si les deux nombres sont égaux. Dans ce cas, PGCD(a, a) = PPCM(a, a) = a.
  • Comment utiliser la décomposition en facteurs premiers pour calculer le PGCD et le PPCM ?

    Pour calculer le PGCD, prenez chaque facteur premier commun aux deux nombres et élevez-le à la plus petite puissance qui apparaît dans l'une des décompositions. Pour le PPCM, prenez chaque facteur premier qui apparaît dans l'une des décompositions et élevez-le à la plus grande puissance qui apparaît dans l'une des décompositions. Multipliez ensuite tous ces facteurs ensemble.