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Exercices Corrigés : Application du PGCD et du PPCM

Entraînez-vous avec une série d'exercices corrigés pour maîtriser le calcul du PGCD et du PPCM. Des exemples variés pour une compréhension approfondie.

Propriétés des entiers, divisibilité et congruences au cœur de l’arithmétique
Exercices Corrigés : Application du PGCD et du PPCM

Exercice 1 : Calcul du PGCD

Énoncé : Calculer le PGCD de 72 et 108 en utilisant l'algorithme d'Euclide.

Solution :

  • 108 = 1 * 72 + 36
  • 72 = 2 * 36 + 0
Le dernier reste non nul est 36. Donc, PGCD(72, 108) = 36.

Exercice 2 : Calcul du PPCM

Énoncé : Calculer le PPCM de 15 et 20.

Solution :

  • On trouve d'abord le PGCD de 15 et 20 :
    • 20 = 1 * 15 + 5
    • 15 = 3 * 5 + 0
  • Donc PGCD(15, 20) = 5.
  • On utilise la formule PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b) :
  • PPCM(15, 20) = (15 * 20) / 5 = 300 / 5 = 60.
Donc PPCM(15, 20) = 60.

Exercice 3 : PGCD et nombres premiers entre eux

Énoncé : Les nombres 24 et 35 sont-ils premiers entre eux ?

Solution :

  • Calculons le PGCD de 24 et 35 :
    • 35 = 1 * 24 + 11
    • 24 = 2 * 11 + 2
    • 11 = 5 * 2 + 1
    • 2 = 2 * 1 + 0
  • Le dernier reste non nul est 1. Donc, PGCD(24, 35) = 1.
Conclusion : Les nombres 24 et 35 sont premiers entre eux.

Exercice 4 : Application : Problème concret

Énoncé : Un fleuriste a 36 roses et 48 tulipes. Il veut faire des bouquets identiques contenant le même nombre de roses et de tulipes. Quel est le nombre maximal de bouquets qu'il peut faire ? Combien de roses et de tulipes y aura-t-il dans chaque bouquet ?

Solution :

  • On cherche le PGCD de 36 et 48 :
    • 48 = 1 * 36 + 12
    • 36 = 3 * 12 + 0
  • Donc PGCD(36, 48) = 12.
  • Le fleuriste peut faire au maximum 12 bouquets.
  • Chaque bouquet contiendra 36 / 12 = 3 roses et 48 / 12 = 4 tulipes.

Exercice 5 : Simplification de fractions

Énoncé : Simplifier la fraction 168/252.

Solution :

  • Calculons le PGCD de 168 et 252 :
    • 252 = 1 * 168 + 84
    • 168 = 2 * 84 + 0
  • Donc PGCD(168, 252) = 84.
  • Divisons le numérateur et le dénominateur par leur PGCD :
    • 168 / 84 = 2
    • 252 / 84 = 3
  • La fraction simplifiée est 2/3.

Ce qu'il faut retenir

  • L'algorithme d'Euclide est fondamental pour calculer le PGCD.
  • La formule PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b) relie le PGCD et le PPCM.
  • Comprendre le PGCD et le PPCM permet de résoudre des problèmes concrets, comme la simplification de fractions ou la répartition de ressources.

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FAQ

  • Pourquoi l'algorithme d'Euclide fonctionne-t-il ?

    L'algorithme d'Euclide fonctionne car PGCD(a, b) = PGCD(b, r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. En remplaçant a et b par des nombres plus petits à chaque étape, on finit par obtenir un reste de zéro, et le PGCD est le dernier reste non nul.
  • Dans quels cas le PGCD et le PPCM sont-ils égaux ?

    Le PGCD et le PPCM de deux nombres sont égaux seulement si les deux nombres sont égaux. Dans ce cas, PGCD(a, a) = PPCM(a, a) = a.
  • Comment utiliser la décomposition en facteurs premiers pour calculer le PGCD et le PPCM ?

    Pour calculer le PGCD, prenez chaque facteur premier commun aux deux nombres et élevez-le à la plus petite puissance qui apparaît dans l'une des décompositions. Pour le PPCM, prenez chaque facteur premier qui apparaît dans l'une des décompositions et élevez-le à la plus grande puissance qui apparaît dans l'une des décompositions. Multipliez ensuite tous ces facteurs ensemble.