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PGCD et PPCM : Maîtriser les fondations de l'arithmétique

Explorez en détail les notions de Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) et de Plus Petit Commun Multiple (PPCM). Apprenez à les calculer efficacement et à les appliquer dans divers contextes mathématiques.

Définition du PGCD

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers a et b, noté PGCD(a, b), est le plus grand entier qui divise à la fois a et b. En d'autres termes, c'est le plus grand nombre entier positif qui est un diviseur commun de a et b.

Exemple: Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Le plus grand diviseur commun de 12 et 18 est 6. Donc, PGCD(12, 18) = 6.

Algorithme d'Euclide

L'algorithme d'Euclide est une méthode efficace pour calculer le PGCD de deux nombres. Il repose sur la propriété suivante : PGCD(a, b) = PGCD(b, r), où r est le reste de la division euclidienne de a par b.

Étapes de l'algorithme :

  1. Diviser a par b et obtenir le reste r.
  2. Si r = 0, alors PGCD(a, b) = b.
  3. Sinon, remplacer a par b et b par r, et retourner à l'étape 1.

Exemple : Calculons PGCD(48, 18) :
  • 48 = 2 * 18 + 12
  • 18 = 1 * 12 + 6
  • 12 = 2 * 6 + 0
Le dernier reste non nul est 6, donc PGCD(48, 18) = 6.

Définition du PPCM

Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de deux entiers a et b, noté PPCM(a, b), est le plus petit entier positif qui est un multiple à la fois de a et de b. En d'autres termes, c'est le plus petit nombre entier positif divisible par a et par b.

Exemple : Les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24, 30,... Le plus petit multiple commun de 4 et 6 est 12. Donc, PPCM(4, 6) = 12.

Calcul du PPCM à partir du PGCD

Il existe une relation importante entre le PGCD et le PPCM :

PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b)

Cette formule permet de calculer le PPCM facilement si l'on connaît le PGCD.

Exemple : Calculons PPCM(48, 18) en utilisant le PGCD(48, 18) = 6 (calculé précédemment) :
PPCM(48, 18) = (48 * 18) / 6 = 864 / 6 = 144. Donc PPCM(48, 18) = 144.

Nombres premiers entre eux

Deux entiers a et b sont dits premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Dans ce cas, on a PGCD(a, b) = 1.

Exemple: Les nombres 8 et 15 sont premiers entre eux car leur PGCD est 1. Bien que ni 8 ni 15 ne soient des nombres premiers (8 est divisible par 2 et 15 est divisible par 3 et 5), ils n'ont aucun facteur premier commun autre que 1.

Si deux nombres sont premiers entre eux, alors leur PPCM est simplement le produit de ces deux nombres: PPCM(a, b) = a * b si PGCD(a, b) = 1.

Applications du PGCD et du PPCM

Le PGCD et le PPCM ont de nombreuses applications en mathématiques et dans la vie courante :

  • Simplification de fractions : Le PGCD permet de simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
  • Résolution de problèmes : Le PGCD et le PPCM sont utilisés pour résoudre des problèmes impliquant des divisions et des multiples, comme la planification d'événements ou la répartition de ressources.
  • Cryptographie : Le PGCD est utilisé dans certains algorithmes de cryptographie.
  • Horlogerie : Trouver le PPCM de deux cycles peut être utilisé pour déterminer quand deux événements périodiques se produiront simultanément.

Ce qu'il faut retenir

  • Le PGCD est le plus grand diviseur commun à deux entiers.
  • L'algorithme d'Euclide est une méthode efficace pour calculer le PGCD.
  • Le PPCM est le plus petit multiple commun à deux entiers.
  • Il existe une relation entre le PGCD et le PPCM : PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b).
  • Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

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FAQ

  • Comment trouver le PGCD de trois nombres ?

    Pour trouver le PGCD de trois nombres a, b et c, on peut d'abord calculer le PGCD de deux nombres (par exemple, PGCD(a, b)) et ensuite calculer le PGCD du résultat avec le troisième nombre (PGCD(PGCD(a, b), c)).
  • Le PGCD de deux nombres peut-il être négatif ?

    Par définition, le PGCD est un entier positif. Bien que les nombres puissent être négatifs, on considère la valeur absolue pour trouver le PGCD.
  • Quel est le PGCD d'un nombre et de zéro ?

    Le PGCD d'un nombre a et de zéro est |a| (la valeur absolue de a), car tout nombre divise zéro.
  • Comment calculer le PPCM de nombres qui ont des facteurs premiers communs ?

    Si les nombres ont des facteurs premiers communs, vous pouvez utiliser la formule PPCM(a, b) = (|a * b|) / PGCD(a, b). Sinon, vous pouvez décomposer chaque nombre en ses facteurs premiers et prendre chaque facteur premier à la plus haute puissance qui apparaît dans n'importe quelle décomposition, puis multiplier ces puissances ensemble.