Racines d'un polynôme : Définitions, méthodes et exemples

Définition d'une racine d'un polynôme

Une racine (ou zéro) d'un polynôme P(x) est une valeur α (alpha) telle que P(α) = 0. Autrement dit, c'est une valeur de x qui annule le polynôme. Trouver les racines d'un polynôme est un problème fondamental en algèbre avec de nombreuses applications, par exemple, pour résoudre des équations polynomiales, étudier le comportement des fonctions polynomiales et modéliser des phénomènes physiques. Exemple : Considérons le polynôme P(x) = x² - 4. Si on remplace x par 2, on obtient P(2) = 2² - 4 = 0. Donc, 2 est une racine de P(x). De même, -2 est aussi une racine car P(-2) = (-2)² - 4 = 0.

Méthodes de recherche des racines

Il existe différentes méthodes pour trouver les racines d'un polynôme, en fonction de son degré et de sa forme. Voici quelques-unes des méthodes les plus courantes :

• Factorisation : Si le polynôme peut être factorisé, on peut trouver les racines en égalant chaque facteur à zéro. Par exemple, si P(x) = (x - a)(x - b), alors les racines sont x = a et x = b.
• Formule quadratique (pour les polynômes de degré 2) : Pour un polynôme de la forme ax² + bx + c = 0, les racines sont données par la formule : x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a). Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine le nombre de racines réelles : si Δ > 0, il y a deux racines réelles distinctes; si Δ = 0, il y a une racine réelle double; si Δ < 0, il n'y a pas de racines réelles (mais deux racines complexes).
• Recherche de racines évidentes : On peut parfois trouver des racines « évidentes » en testant des valeurs simples comme 0, 1, -1, 2, -2, etc. Si P(a) = 0 pour une certaine valeur a, alors (x - a) est un facteur de P(x).
• Division polynomiale : Si on connaît une racine a, on peut diviser le polynôme P(x) par (x - a) pour obtenir un polynôme de degré inférieur. On peut ensuite chercher les racines de ce nouveau polynôme.
• Méthodes numériques : Pour les polynômes de degré supérieur à 2, il n'existe pas toujours de formule générale pour trouver les racines. Dans ce cas, on peut utiliser des méthodes numériques (comme la méthode de Newton) pour approcher les racines.

Exemples concrets

Illustrons les méthodes de recherche de racines avec quelques exemples :

1. Exemple 1 : Trouver les racines de P(x) = x² - 5x + 6. Factorisation : P(x) = (x - 2)(x - 3). Donc, les racines sont x = 2 et x = 3.
2. Exemple 2 : Trouver les racines de P(x) = x² + 4x + 4. Factorisation : P(x) = (x + 2)². Donc, la racine est x = -2 (racine double).
3. Exemple 3 : Trouver les racines de P(x) = x³ - x. Factorisation : P(x) = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1). Donc, les racines sont x = 0, x = 1 et x = -1.
4. Exemple 4 : Trouver les racines de P(x) = x² + 1. Le discriminant est Δ = 0² - 4(1)(1) = -4 < 0. Donc, il n'y a pas de racines réelles. Les racines sont complexes : x = ±i.

Multiplicité d'une racine

La multiplicité d'une racine est le nombre de fois qu'elle apparaît comme facteur dans la factorisation du polynôme. Par exemple, si P(x) = (x - a)^kQ(x), où Q(a) ≠ 0, alors a est une racine de multiplicité k. Si k = 1, on dit que la racine est simple. Si k = 2, on dit que la racine est double, etc. La multiplicité d'une racine a un impact sur le comportement du polynôme autour de cette racine. Par exemple, si a est une racine de multiplicité impaire, le graphe du polynôme traverse l'axe des x en x = a. Si a est une racine de multiplicité paire, le graphe du polynôme est tangent à l'axe des x en x = a, sans le traverser.

Théorème fondamental de l'algèbre

Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que tout polynôme non constant à coefficients complexes a au moins une racine complexe. En d'autres termes, pour tout polynôme P(x) de degré n ≥ 1 à coefficients complexes, il existe un nombre complexe α tel que P(α) = 0. Une conséquence importante de ce théorème est qu'un polynôme de degré n à coefficients complexes a exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité).

Relations coefficients-racines

Pour un polynôme de degré n, il existe des relations entre les coefficients et les racines. Considérons un polynôme P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀, avec a_n ≠ 0, et soient x₁, x₂, ..., x_n ses racines (comptées avec multiplicité). Alors, on a les relations suivantes :

• Somme des racines : x₁ + x₂ + ... + x_n = -a_n-1 / a_n
• Produit des racines : x₁ * x₂ * ... * x_n = (-1)ⁿ * a₀ / a_n

• Somme des racines : x₁ + x₂ = -b / a
• Produit des racines : x₁ * x₂ = c / a

Ce qu'il faut retenir

• Définition : Une racine d'un polynôme P(x) est une valeur α telle que P(α) = 0.
• Méthodes de recherche : Factorisation, formule quadratique, recherche de racines évidentes, division polynomiale, méthodes numériques.
• Multiplicité : Le nombre de fois qu'une racine apparaît dans la factorisation du polynôme.
• Théorème fondamental de l'algèbre : Tout polynôme non constant à coefficients complexes a au moins une racine complexe. Un polynôme de degré n a exactement n racines complexes (comptées avec multiplicité).
• Relations coefficients-racines : Il existe des relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme (somme et produit des racines).