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Sens de variation des suites numériques

Comprendre et déterminer le sens de variation (croissante, décroissante, constante) d'une suite numérique. Cours, exemples et exercices pour les élèves de lycée.

Définition et Concepts Clés

Qu'est-ce que le sens de variation d'une suite?

Le sens de variation d'une suite numérique décrit comment les termes de la suite évoluent. Une suite peut être croissante (les termes augmentent), décroissante (les termes diminuent), ou constante (les termes sont tous égaux).

Plus formellement :

  • Une suite (un) est croissante si, pour tout entier n, un+1 ≥ un.
  • Une suite (un) est strictement croissante si, pour tout entier n, un+1 > un.
  • Une suite (un) est décroissante si, pour tout entier n, un+1 ≤ un.
  • Une suite (un) est strictement décroissante si, pour tout entier n, un+1 < un.
  • Une suite (un) est constante si, pour tout entier n, un+1 = un.

Il est essentiel de comprendre que ces définitions s'appliquent pour tout entier n. Il ne suffit pas de vérifier la croissance/décroissance pour quelques valeurs de n pour conclure.

Méthodes pour déterminer le sens de variation

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le sens de variation d'une suite, chacune étant plus adaptée à certains types de suites. Voici les principales :

1. Étudier le signe de un+1 - un :
Cette méthode consiste à calculer la différence entre deux termes consécutifs de la suite, un+1 et un, et à étudier le signe de cette différence. Si :

  • un+1 - un ≥ 0, alors la suite est croissante.
  • un+1 - un ≤ 0, alors la suite est décroissante.
  • un+1 - un = 0, alors la suite est constante.
Exemple : Soit un = 3n + 2. Alors un+1 = 3(n+1) + 2 = 3n + 5. Donc, un+1 - un = (3n + 5) - (3n + 2) = 3 > 0. La suite est donc strictement croissante.

2. Étudier le rapport un+1 / un (pour les suites à termes strictement positifs) :
Cette méthode est utile lorsque les termes de la suite sont strictement positifs. On calcule le rapport un+1 / un et on compare ce rapport à 1. Si :
  • un+1 / un ≥ 1, alors la suite est croissante.
  • un+1 / un ≤ 1, alors la suite est décroissante.
Exemple : Soit un = 2n. Alors un+1 = 2n+1. Donc, un+1 / un = 2n+1 / 2n = 2 > 1. La suite est donc strictement croissante.

3. Utiliser une fonction associée :
Si un = f(n), où f est une fonction définie sur [0, +∞[, on peut étudier le sens de variation de la fonction f. Si f est croissante (respectivement décroissante) sur [0, +∞[, alors la suite (un) est croissante (respectivement décroissante).
Exemple : Soit un = n2. On peut considérer la fonction f(x) = x2. f est croissante sur [0, +∞[, donc la suite (un) est croissante. Important : Cette méthode ne fonctionne que si la fonction f est définie et dérivable sur un intervalle contenant tous les entiers naturels n.

Exemples Détaillés

Exemple 1 : Suite arithmétique
Soit la suite (un) définie par un = 5n - 3.
Pour déterminer son sens de variation, calculons un+1 - un :
un+1 = 5(n+1) - 3 = 5n + 5 - 3 = 5n + 2
un+1 - un = (5n + 2) - (5n - 3) = 5n + 2 - 5n + 3 = 5
Comme un+1 - un = 5 > 0, la suite (un) est strictement croissante.

Exemple 2 : Suite géométrique
Soit la suite (vn) définie par vn = 4 * (1/2)n. Ici, les termes sont strictement positifs.
Calculons vn+1 / vn :
vn+1 = 4 * (1/2)n+1
vn+1 / vn = [4 * (1/2)n+1] / [4 * (1/2)n] = (1/2)n+1 / (1/2)n = 1/2
Comme vn+1 / vn = 1/2 < 1, la suite (vn) est strictement décroissante.

Exemple 3 : Suite définie par une fonction
Soit la suite (wn) définie par wn = n3 - 6n2 + 9n.
Considérons la fonction f(x) = x3 - 6x2 + 9x. Calculons sa dérivée :
f'(x) = 3x2 - 12x + 9 = 3(x2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)
On étudie le signe de f'(x) :

  • Pour x < 1, f'(x) > 0, donc f est croissante.
  • Pour 1 < x < 3, f'(x) < 0, donc f est décroissante.
  • Pour x > 3, f'(x) > 0, donc f est croissante.
Donc, on ne peut pas directement conclure sur le sens de variation de la suite (wn) en utilisant seulement la fonction f(x). Il faudrait calculer les premiers termes et regarder l'évolution, ou étudier directement wn+1 - wn.

Pièges à éviter

  • Ne pas se contenter de quelques termes : Le sens de variation doit être vrai pour tout n. Calculer les premiers termes peut donner une indication, mais ne constitue pas une preuve.
  • Oublier le domaine de définition : La méthode utilisant la fonction associée ne fonctionne que si la fonction est définie sur un intervalle contenant les entiers naturels.
  • Ne pas vérifier les conditions pour utiliser un+1/un : Cette méthode ne s'applique qu'aux suites dont tous les termes sont strictement positifs.

Ce qu'il faut retenir

  • Une suite (un) est croissante si un+1 ≥ un pour tout n.
  • Une suite (un) est décroissante si un+1 ≤ un pour tout n.
  • Pour déterminer le sens de variation, on peut étudier le signe de un+1 - un, le rapport un+1 / un (si les termes sont positifs), ou utiliser une fonction associée.
  • Il est crucial de prouver le sens de variation pour tout n, et non seulement pour quelques valeurs.

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FAQ

  • Comment savoir quelle méthode utiliser pour étudier le sens de variation ?

    Cela dépend de la forme de la suite. Si la suite est définie par une expression simple impliquant 'n', calculer un+1 - un est souvent efficace. Si les termes sont positifs, un+1 / un peut être plus simple. Si un = f(n), étudier la fonction f peut être utile, mais attention aux conditions d'application.
  • Si je trouve que un+1 - un est positif pour les premières valeurs de n, puis-je conclure que la suite est croissante ?

    Non, ce n'est pas suffisant. Il faut prouver que un+1 - un est positif pour tout n. Les premiers termes peuvent donner une indication, mais ne constituent pas une preuve. Une récurrence peut être utile.