Fonctions Trigonométriques Réciproques dans le Triangle Rectangle

Introduction aux Fonctions Trigonométriques Réciproques

Les fonctions trigonométriques réciproques sont les inverses des fonctions trigonométriques (sinus, cosinus, tangente). Elles permettent de trouver la mesure d'un angle à partir de la valeur de son sinus, cosinus ou tangente. Ces fonctions sont également connues sous le nom de fonctions trigonométriques inverses.

Les principales fonctions trigonométriques réciproques sont:

• Arcsin (ou sin^-1) : Donne l'angle dont le sinus est égal à une valeur donnée. Si sin(θ) = x, alors arcsin(x) = θ.
• Arccos (ou cos^-1) : Donne l'angle dont le cosinus est égal à une valeur donnée. Si cos(θ) = x, alors arccos(x) = θ.
• Arctan (ou tan^-1) : Donne l'angle dont la tangente est égale à une valeur donnée. Si tan(θ) = x, alors arctan(x) = θ.

Domaines et Images des Fonctions Réciproques

Il est crucial de comprendre les domaines et les images des fonctions trigonométriques réciproques pour obtenir des résultats précis:

• Arcsin (sin^-1) :
  
  • Domaine: [-1, 1]
  • Image: [-π/2, π/2] (en radians) ou [-90°, 90°] (en degrés)
• Arccos (cos^-1) :
  
  • Domaine: [-1, 1]
  • Image: [0, π] (en radians) ou [0°, 180°] (en degrés)
• Arctan (tan^-1) :
  
  • Domaine: (-∞, ∞)
  • Image: (-π/2, π/2) (en radians) ou (-90°, 90°) (en degrés)

Il est important de noter que les fonctions trigonométriques réciproques donnent une seule valeur (la valeur principale) dans leur image. Il peut exister d'autres angles ayant le même sinus, cosinus ou tangente, mais la fonction réciproque renverra la valeur principale.

Utilisation des Fonctions Réciproques pour Trouver les Angles

Dans un triangle rectangle, les fonctions trigonométriques réciproques permettent de calculer les angles à partir des longueurs des côtés. Par exemple:

• Si on connaît le côté opposé et l'hypoténuse, on utilise arcsin pour trouver l'angle.
• Si on connaît le côté adjacent et l'hypoténuse, on utilise arccos pour trouver l'angle.
• Si on connaît le côté opposé et le côté adjacent, on utilise arctan pour trouver l'angle.

Exemple 1:
Dans un triangle rectangle ABC, on donne AB = 4 cm et BC = 3 cm. Calculer la mesure de l'angle en A.

Solution:
On a tan(A) = BC / AB = 3 / 4 = 0.75. Donc, A = arctan(0.75) ≈ 36.87°.

Exemple 2:
Dans un triangle rectangle DEF, on donne DE = 5 cm et DF = 13 cm. Calculer la mesure de l'angle en D.

Solution:
On a cos(D) = DE / DF = 5 / 13 ≈ 0.3846. Donc, D = arccos(0.3846) ≈ 67.38°.

Applications et Exemples

Les fonctions trigonométriques réciproques sont utilisées dans divers domaines, notamment:

• Physique: Calcul de l'angle de lancement d'un projectile.
• Ingénierie: Détermination de l'angle d'inclinaison d'une rampe.
• Navigation: Calcul de l'angle de direction d'un navire ou d'un avion.

Exemple 1 :
Un avion doit atterrir sur une piste. L'avion est à une altitude de 1000 mètres et se trouve à une distance horizontale de 5000 mètres de la piste. Quel est l'angle de descente (dépression) de l'avion ?

Solution :
L'angle de dépression est l'angle formé entre l'horizontale et la ligne de vue de l'avion vers la piste. On peut utiliser la tangente inverse (arctan) pour trouver cet angle. tan(θ) = hauteur / distance = 1000 / 5000 = 0.2. Donc, θ = arctan(0.2) ≈ 11.31 degrés.

Exemple 2 :
Une échelle de 6 mètres est appuyée contre un mur. Le pied de l'échelle est à 2 mètres du mur. Quel angle l'échelle forme-t-elle avec le sol ?

Solution :
On peut utiliser le cosinus inverse (arccos) pour trouver l'angle. cos(θ) = adjacent / hypoténuse = 2 / 6 = 1 / 3. Donc, θ = arccos(1 / 3) ≈ 70.53 degrés.

Ce qu'il faut retenir

• Fonctions réciproques: Arcsin (sin^-1), Arccos (cos^-1), Arctan (tan^-1).
• Arcsin: Trouve l'angle dont le sinus est connu. Domaine: [-1, 1], Image: [-90°, 90°].
• Arccos: Trouve l'angle dont le cosinus est connu. Domaine: [-1, 1], Image: [0°, 180°].
• Arctan: Trouve l'angle dont la tangente est connue. Domaine: (-∞, ∞), Image: (-90°, 90°).
• Applications: Physique, ingénierie, navigation.