Calcul des Incertitudes : Introduction et Méthodes Simples

Introduction aux Incertitudes

Pourquoi les incertitudes ? En Physique-Chimie, chaque mesure est entachée d'une incertitude. Il est impossible d'obtenir une valeur exacte. Cette incertitude est due à divers facteurs : la précision de l'appareil de mesure, l'habileté de l'expérimentateur, les conditions environnementales, etc. Il est donc crucial de quantifier cette incertitude et de l'exprimer correctement.

Définition de l'incertitude : L'incertitude est une estimation de la marge d'erreur possible autour de la valeur mesurée. Elle indique l'intervalle dans lequel la valeur réelle a de fortes chances de se trouver. On exprime généralement l'incertitude avec le symbole ± (plus ou moins). Par exemple, une mesure de (25 ± 1) °C signifie que la température réelle se situe probablement entre 24 °C et 26 °C.

Types d'Incertitudes

Il existe deux grands types d'incertitudes :

1. Incertitudes de type A (statistiques) : Elles sont estimées à partir d'une série de mesures répétées. On calcule l'écart-type expérimental et on en déduit l'incertitude-type.

2. Incertitudes de type B (estimées) : Elles sont estimées à partir d'informations autres que des mesures répétées, telles que la résolution de l'appareil, la documentation du fabricant, ou l'expérience de l'expérimentateur. Par exemple, l'incertitude sur la lecture d'une éprouvette graduée est souvent estimée comme la moitié de la plus petite graduation.

Dans le cadre du lycée, on se concentre souvent sur les incertitudes de type B, qui sont plus simples à estimer.

Estimation Simple de l'Incertitude-Type (Type B)

La méthode la plus simple pour estimer l'incertitude-type (u) de type B consiste à considérer la résolution de l'instrument de mesure. La résolution est la plus petite variation que l'instrument peut détecter. On peut alors estimer l'incertitude-type comme :

u ≈ résolution / √3

Exemple : Une règle graduée au millimètre près (résolution = 1 mm = 0.001 m). L'incertitude-type sur la mesure d'une longueur avec cette règle est approximativement :
u ≈ 0.001 m / √3 ≈ 0.00058 m

Remarque importante : Cette estimation est une simplification. Dans certains cas, l'incertitude peut être plus importante, en fonction de la qualité de l'instrument et de la méthode de mesure. Il est crucial de faire preuve de bon sens et d'évaluer si d'autres sources d'incertitude sont significatives.

Expression du Résultat d'une Mesure

Une fois que l'on a mesuré une grandeur et estimé son incertitude, il est essentiel d'exprimer correctement le résultat. Un résultat de mesure s'exprime sous la forme :

(valeur mesurée ± incertitude) unité

Exemple : Si on mesure une tension de 12.5 V avec une incertitude de 0.2 V, on écrit le résultat :

(12.5 ± 0.2) V

Nombre de chiffres significatifs : L'incertitude doit être donnée avec un seul chiffre significatif (parfois deux si le premier chiffre significatif est 1 ou 2). La valeur mesurée doit être arrondie au même rang de décimale que l'incertitude. Dans l'exemple ci-dessus, si on avait mesuré 12.54 V et calculé une incertitude de 0.21 V, on arrondirait le résultat à (12.5 ± 0.2) V. Il est essentiel d'utiliser le bon nombre de chiffres significatifs pour ne pas surestimer la précision de la mesure.

Propagation des Incertitudes (Méthodes Simples)

Souvent, on calcule une grandeur physique à partir de plusieurs mesures. Il est alors nécessaire de propager les incertitudes de ces mesures pour obtenir l'incertitude sur le résultat final. Voici quelques règles simples pour les opérations courantes :

1. Addition et Soustraction : Si Z = X + Y ou Z = X - Y, alors l'incertitude sur Z est :
u(Z) = √(u(X)² + u(Y)²)

2. Multiplication et Division : Si Z = X * Y ou Z = X / Y, alors l'incertitude relative sur Z est :
u(Z)/Z = √((u(X)/X)² + (u(Y)/Y)²)

Il faut ensuite multiplier le résultat Z par l'incertitude relative pour obtenir l'incertitude absolue u(Z).

3. Multiplication par une Constante : Si Z = k * X, alors l'incertitude sur Z est :
u(Z) = |k| * u(X)

Exemple : Calcul d'une aire. On mesure la longueur L = (5.0 ± 0.1) cm et la largeur l = (3.0 ± 0.1) cm d'un rectangle. L'aire est A = L * l = 5.0 cm * 3.0 cm = 15.0 cm². L'incertitude relative sur l'aire est :
u(A)/A = √((0.1/5.0)² + (0.1/3.0)²) ≈ 0.036

Donc u(A) = 0.036 * 15.0 cm² ≈ 0.54 cm². On arrondit l'incertitude à 0.5 cm², et on arrondit l'aire à (15.0 ± 0.5) cm².

L'incertitude élargie

L'incertitude élargie, notée U, est obtenue en multipliant l'incertitude type u(x) par un facteur d'élargissement k : U = k * u(x).

Le facteur k est choisi en fonction du niveau de confiance souhaité :

k = 2 correspond à un niveau de confiance d'environ 95 %
k = 3 correspond à un niveau de confiance d'environ 99 %

Le résultat de la mesure est alors présenté comme :

x = valeur mesurée ± U, avec un niveau de confiance de X %

Ce qu'il faut retenir

• Toute mesure est entachée d'incertitude.
• L'incertitude quantifie la marge d'erreur possible.
• On distingue incertitudes de type A (statistiques) et de type B (estimées).
• Au lycée, on utilise souvent une estimation simple de l'incertitude-type : résolution / √3.
• Un résultat de mesure s'exprime : (valeur mesurée ± incertitude) unité, avec le bon nombre de chiffres significatifs.
• Pour propager les incertitudes, on utilise des règles simples pour l'addition, la soustraction, la multiplication et la division.
• Addition et Soustraction: u(Z) = √(u(X)² + u(Y)²)
• Multiplication et Division: u(Z)/Z = √((u(X)/X)² + (u(Y)/Y)²)
• Multiplication par une Constante: u(Z) = |k| * u(X)
• Il est crucial d'estimer correctement les incertitudes pour interpréter les résultats expérimentaux.