Exercices Corrigés : Conservation de la Quantité de Mouvement

Exercice 1 : Collision élastique

Deux patineurs, A et B, de masses respectives m_A = 70 kg et m_B = 50 kg, se déplacent sur une patinoire sans frottement. Le patineur A se déplace à une vitesse de v_A,i = 2 m/s et rattrape le patineur B, qui se déplace dans la même direction à une vitesse de v_B,i = 1 m/s. Après la collision, le patineur A a une vitesse de v_A,f = 1.2 m/s. Quelle est la vitesse du patineur B après la collision ?

Solution :
On applique la conservation de la quantité de mouvement: m_Av_A,i + m_Bv_B,i = m_Av_A,f + m_Bv_B,f.
On remplace par les valeurs: (70 kg)(2 m/s) + (50 kg)(1 m/s) = (70 kg)(1.2 m/s) + (50 kg)v_B,f.
On isole v_B,f: v_B,f = [(70 * 2) + (50 * 1) - (70 * 1.2)] / 50 = (140 + 50 - 84) / 50 = 106 / 50 = 2.12 m/s. La vitesse du patineur B après la collision est de 2.12 m/s.

Exercice 2 : Recul d'un canon

Un canon de masse M = 500 kg tire un obus de masse m = 5 kg avec une vitesse initiale v = 300 m/s par rapport au canon. Quelle est la vitesse de recul du canon ?

Solution :
Initialement, le canon et l'obus sont au repos, donc la quantité de mouvement totale du système est nulle. Après le tir, la quantité de mouvement totale doit toujours être nulle. Donc 0 = M * V_recul + m * v. On isole V_recul = -(m * v) / M = -(5 kg * 300 m/s) / 500 kg = -3 m/s. La vitesse de recul du canon est de -3 m/s (le signe négatif indique que le canon recule dans la direction opposée à celle de l'obus).

Exercice 3 : Explosion d'un projectile

Un projectile de masse 10 kg se déplace horizontalement à 20 m/s. Il explose et se divise en deux morceaux: un morceau de 6 kg qui continue dans la même direction à 30 m/s, et un morceau de 4 kg. Déterminer la vitesse du deuxième morceau.

Solution:
On applique la conservation de la quantité de mouvement : p_initiale = p_finale1 + p_finale2. Soit: (10 kg)(20 m/s) = (6 kg)(30 m/s) + (4 kg)v₂. Donc: 200 = 180 + 4v₂. Alors, 4v₂ = 20. Finalement, v₂ = 5 m/s. Le deuxième morceau a une vitesse de 5 m/s dans la même direction que le projectile initial.

Ce qu'il faut retenir

• Appliquer la conservation de la quantité de mouvement (p_initiale = p_finale) à différents scénarios.
• Bien identifier les masses et les vitesses avant et après l'interaction.
• Tenir compte du sens du mouvement (vecteurs).
• Résoudre les équations pour trouver les inconnues.