Représentation de l'Impédance avec les Diagrammes de Fresnel

Introduction aux Diagrammes de Fresnel

Les diagrammes de Fresnel sont des représentations vectorielles qui permettent de visualiser les tensions et les courants dans les circuits en courant alternatif (AC) et de comprendre leurs relations de phase. Ils sont particulièrement utiles pour analyser les circuits contenant des résistances, des inductances et des capacitances (circuits RLC).

Dans un diagramme de Fresnel, chaque grandeur sinusoïdale (tension ou courant) est représentée par un vecteur dont :

• La longueur est proportionnelle à l'amplitude de la grandeur.
• L'angle avec un axe de référence (généralement l'axe horizontal) représente la phase de la grandeur.

Représentation de la Résistance

Dans un circuit purement résistif, la tension (U_R) et le courant (I) sont en phase. Dans le diagramme de Fresnel, les vecteurs représentant la tension et le courant sont donc colinéaires et de même sens.

On peut choisir de représenter le courant sur l'axe horizontal, et la tension sera alors également sur cet axe.

Dans ce diagramme, U_R = R * I.

Représentation de l'Inductance

Dans un circuit purement inductif, la tension (U_L) est en avance de phase de 90° (π/2 radians) par rapport au courant (I). Dans le diagramme de Fresnel, le vecteur représentant la tension est donc orienté à 90° dans le sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d'une montre) par rapport au vecteur représentant le courant.

Dans ce diagramme, U_L = X_L * I, où X_L est la réactance inductive (X_L = 2 * π * f * L).

Représentation de la Capacitance

Dans un circuit purement capacitif, la tension (U_C) est en retard de phase de 90° (-π/2 radians) par rapport au courant (I). Dans le diagramme de Fresnel, le vecteur représentant la tension est donc orienté à 90° dans le sens horaire par rapport au vecteur représentant le courant.

Dans ce diagramme, U_C = X_C * I, où X_C est la réactance capacitive (X_C = 1 / (2 * π * f * C)).

Représentation d'un Circuit RLC Série

Dans un circuit RLC série, le courant est le même dans tous les composants. Le diagramme de Fresnel représente donc le courant (I) sur l'axe horizontal (par convention). Les tensions U_R, U_L et U_C sont représentées comme expliqué précédemment. La tension totale (U) est la somme vectorielle des trois tensions :

U = U_R + U_L + U_C

Graphiquement, on construit le diagramme en additionnant les vecteurs U_R, U_L et U_C bout à bout. Le vecteur résultant représente la tension totale U. L'angle entre le vecteur U et le vecteur I représente le déphasage φ entre la tension et le courant.

Sur ce diagramme, on peut voir que :

• Si U_L > U_C, la tension totale est en avance de phase par rapport au courant (circuit inductif).
• Si U_L < U_C, la tension totale est en retard de phase par rapport au courant (circuit capacitif).
• Si U_L = U_C, la tension totale est en phase avec le courant (circuit résistif). C'est la condition de résonance.

Exemple Concret

Reprenons l'exemple du circuit RLC série précédent (R=100Ω, L=0.5H, C=10µF, f=50Hz, U=230V). Nous avions calculé :

• I ≈ 1.19A
• U_R = R*I = 100Ω * 1.19A = 119V
• X_L ≈ 157.08Ω, U_L = X_L * I = 157.08Ω * 1.19A ≈ 186.9V
• X_C ≈ 318.31Ω, U_C = X_C * I = 318.31Ω * 1.19A ≈ 378.8V
• φ ≈ -58.08°

Pour construire le diagramme de Fresnel, on dessine d'abord le vecteur courant (I) sur l'axe horizontal. Ensuite, on dessine le vecteur U_R également sur l'axe horizontal, de longueur proportionnelle à 119V. Puis, on dessine le vecteur U_L à 90° dans le sens trigonométrique par rapport à I, de longueur proportionnelle à 186.9V. Enfin, on dessine le vecteur U_C à 90° dans le sens horaire par rapport à I, de longueur proportionnelle à 378.8V.

La somme vectorielle de U_R, U_L et U_C donne le vecteur tension totale U, de longueur proportionnelle à 230V et faisant un angle de -58.08° avec l'axe horizontal (en retard par rapport au courant).

Ce qu'il faut retenir

• Les diagrammes de Fresnel représentent les tensions et courants en AC par des vecteurs, dont la longueur est proportionnelle à l'amplitude et l'angle représente la phase.
• Dans une résistance, tension et courant sont en phase (vecteurs colinéaires).
• Dans une inductance, la tension est en avance de 90° sur le courant (vecteur tension à 90° dans le sens trigonométrique).
• Dans une capacitance, la tension est en retard de 90° sur le courant (vecteur tension à 90° dans le sens horaire).
• Dans un circuit RLC, la tension totale est la somme vectorielle des tensions individuelles. Le déphasage entre tension et courant se lit sur le diagramme.