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Lois de Kirchhoff : Analyse des Circuits Électriques
Comprendre et appliquer les lois de Kirchhoff pour l'analyse des circuits électriques en courant continu : loi des nœuds (conservation du courant) et loi des mailles (conservation de l'énergie). Exemples et exercices résolus.
Introduction aux Lois de Kirchhoff
Les lois de Kirchhoff sont des outils fondamentaux pour analyser les circuits électriques, en particulier les circuits complexes où l'utilisation de la loi d'Ohm seule n'est pas suffisante. Elles se basent sur deux principes de conservation essentiels : la conservation de la charge électrique (loi des nœuds) et la conservation de l'énergie (loi des mailles). Ces lois permettent de déterminer les courants et les tensions dans chaque partie d'un circuit.
La Loi des Nœuds (Loi de Kirchhoff des Courants)
La loi des nœuds, également appelée loi de Kirchhoff des courants (LCK), stipule que la somme algébrique des courants entrant et sortant d'un nœud (point de jonction dans un circuit) est égale à zéro. En d'autres termes, le courant total entrant dans un nœud est égal au courant total qui en sort. <ul> <li><strong>Formulation Mathématique:</strong> ∑ I<sub>entrant</sub> = ∑ I<sub>sortant</sub></li> <li><strong>Explication:</strong> Un nœud ne peut pas accumuler de charge. Tout courant arrivant doit ressortir. On considère souvent (mais pas toujours) que les courants entrant sont positifs et les courants sortant sont négatifs (ou l'inverse, du moment qu'on est cohérent).</li> </ul> <strong>Exemple :</strong> Supposons un nœud où entrent les courants I1 = 2A et I2 = 3A, et où sortent les courants I3 et I4. Si I3 = 1A, alors I4 = 2 + 3 - 1 = 4A.
La Loi des Mailles (Loi de Kirchhoff des Tensions)
La loi des mailles, également appelée loi de Kirchhoff des tensions (LKT), stipule que la somme algébrique des différences de potentiel (tensions) le long d'une maille fermée (boucle) dans un circuit est égale à zéro. Cela traduit la conservation de l'énergie : un électron qui parcourt une boucle complète ne peut pas gagner ou perdre de l'énergie nette. <ul> <li><strong>Formulation Mathématique:</strong> ∑ V = 0 (somme des tensions = 0)</li> <li><strong>Explication:</strong> Lorsqu'on parcourt une maille, on considère une tension comme positive si on traverse un générateur (de - vers +) et négative si on traverse une résistance (dans le sens du courant, donc de + vers -). Le choix du sens de parcours de la maille est arbitraire, mais doit être cohérent.</li> </ul> <strong>Exemple :</strong> Considérons une maille avec une source de tension de 12V et deux résistances, R1 et R2. La somme des tensions aux bornes de R1 et R2 doit être égale à 12V.
Méthode d'Application des Lois de Kirchhoff
Voici une méthode systématique pour appliquer les lois de Kirchhoff : <ol> <li><strong>Identifier les nœuds:</strong> Repérer tous les points de jonction dans le circuit.</li> <li><strong>Définir les courants:</strong> Attribuer une direction arbitraire à chaque courant dans chaque branche du circuit. Si le courant réel est dans la direction opposée, la valeur calculée sera négative. Il est conseillé de dessiner les courants sur le schéma du circuit.</li> <li><strong>Écrire les équations des nœuds:</strong> Appliquer la loi des nœuds à chaque nœud, en utilisant les directions choisies pour les courants.</li> <li><strong>Identifier les mailles:</strong> Repérer toutes les boucles fermées (mailles) dans le circuit.</li> <li><strong>Choisir un sens de parcours pour chaque maille:</strong> Définir un sens arbitraire (horaire ou antihoraire) pour parcourir chaque maille.</li> <li><strong>Écrire les équations des mailles:</strong> Appliquer la loi des mailles à chaque maille, en tenant compte du sens de parcours et des polarités des tensions (sources et résistances).</li> <li><strong>Résoudre le système d'équations:</strong> Résoudre le système d'équations linéaires obtenu (autant d'équations que d'inconnues) pour trouver les valeurs des courants et des tensions. On peut utiliser des méthodes algébriques (substitution, élimination) ou matricielles.</li> </ol>
Exemple d'Application
Considérons un circuit simple avec deux résistances (R1 = 10Ω, R2 = 20Ω) en série alimentées par une source de tension de 9V. Nous voulons déterminer le courant dans le circuit et la tension aux bornes de chaque résistance. <ol> <li><strong>Nœuds :</strong> Il n'y a pas de nœuds complexes dans ce circuit (un seul chemin pour le courant).</li> <li><strong>Maille :</strong> Il y a une seule maille.</li> <li><strong>Équation de maille :</strong> 9V - R1*I - R2*I = 0 (en parcourant la maille dans le sens du courant)</li> <li><strong>Résolution :</strong> I = 9V / (R1 + R2) = 9V / (10Ω + 20Ω) = 0.3A</li> <li><strong>Tensions :</strong> V1 = R1*I = 10Ω * 0.3A = 3V et V2 = R2*I = 20Ω * 0.3A = 6V.</li> </ol>
Conseils Pratiques
<ul> <li>Dessiner toujours un schéma clair du circuit, en indiquant les polarités des tensions et les directions des courants.</li> <li>Vérifier que le nombre d'équations est suffisant pour résoudre le problème (au moins autant d'équations que d'inconnues).</li> <li>Être attentif aux unités : utiliser les unités du système international (Volts, Ampères, Ohms).</li> <li>Vérifier les résultats obtenus : les valeurs des courants et des tensions doivent être cohérentes avec les caractéristiques du circuit (par exemple, la tension aux bornes d'une résistance ne peut pas être supérieure à la tension de la source).</li> </ul>
Ce qu'il faut retenir
<ul> <li><strong>Loi des nœuds :</strong> La somme des courants entrant dans un nœud est égale à la somme des courants sortant.</li> <li><strong>Loi des mailles :</strong> La somme des tensions dans une maille fermée est égale à zéro.</li> <li>Les lois de Kirchhoff sont essentielles pour l'analyse des circuits complexes.</li> <li>Une méthode systématique permet d'appliquer ces lois efficacement.</li> <li>Vérifier toujours la cohérence des résultats obtenus.</li> </ul>
FAQ
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Quelle est la différence entre un nœud et une maille ?
Un nœud est un point de jonction où au moins trois conducteurs se rencontrent. Une maille est une boucle fermée dans un circuit, sans branches à l'intérieur. -
Comment choisir le sens de parcours d'une maille ?
Le sens de parcours est arbitraire. Cependant, il est important d'être cohérent dans l'application de la loi des mailles en tenant compte du sens choisi pour déterminer les signes des tensions. -
Que faire si on obtient un courant négatif ?
Un courant négatif signifie que la direction réelle du courant est opposée à celle que vous avez initialement supposée. La valeur absolue du courant est correcte.