Corrigé détaillé : Étude d'un circuit RLC en régime sinusoïdal forcé

Présentation du problème

L'exercice porte sur un circuit RLC série alimenté par une source de tension sinusoïdale. Il s'agit de déterminer l'impédance du circuit, l'amplitude du courant, les tensions aux bornes de chaque composant, la puissance active et réactive consommée par le circuit, et d'étudier la résonance d'intensité.

Calcul de l'impédance du circuit

Formule de l'impédance :
L'impédance Z d'un circuit RLC série est donnée par la formule :
Z = √(R² + (XL - XC)²)
où :
R est la résistance du circuit,
XL est la réactance inductive (XL = ωL, où ω est la pulsation et L l'inductance),
XC est la réactance capacitive (XC = 1/(ωC), où C est la capacité).

Calcul des réactances :
Commencez par calculer les réactances inductive (XL) et capacitive (XC).
XL = ωL = 2πfL
XC = 1/(ωC) = 1/(2πfC)

Application numérique :
Remplacez les valeurs de R, XL et XC dans la formule de l'impédance pour obtenir Z.
N'oubliez pas l'unité de l'impédance : l'ohm (Ω).

Détermination de l'amplitude du courant

Loi d'Ohm en régime sinusoïdal :
L'amplitude du courant (I) dans le circuit est liée à l'amplitude de la tension (U) et à l'impédance (Z) par la loi d'Ohm :
I = U/Z

Calcul de l'amplitude du courant :
Utilisez la valeur de l'amplitude de la tension fournie dans l'énoncé et la valeur de l'impédance calculée précédemment pour déterminer l'amplitude du courant.
N'oubliez pas l'unité du courant : l'ampère (A).

Calcul des tensions aux bornes des composants

Tension aux bornes de la résistance (UR) :
UR = RI

Tension aux bornes de l'inductance (UL) :
UL = XL*I

Tension aux bornes du condensateur (UC) :
UC = XC*I

N'oubliez pas l'unité de la tension : le volt (V).

Puissance active et réactive

Puissance active (P) :
P = U*I*cos(φ) = R*I² où φ est le déphasage entre la tension et le courant.

Puissance réactive (Q) :
Q = U*I*sin(φ) = (XL-XC)*I²

Calcul du facteur de puissance :
cos(φ) = R/Z

N'oubliez pas les unités : watt (W) pour la puissance active et voltampère réactif (VAR) pour la puissance réactive.

Étude de la résonance d'intensité

Définition de la résonance :
La résonance d'intensité se produit lorsque l'impédance du circuit est minimale, ce qui correspond à XL = XC.
À la résonance, le courant est maximal et le déphasage entre la tension et le courant est nul (cos(φ) = 1).

Fréquence de résonance (f0) :
f0 = 1/(2π√(LC))

Impédance à la résonance :
Z = R

Courant à la résonance :
I = U/R

Ce qu'il faut retenir

• L'impédance d'un circuit RLC série dépend de la résistance, de l'inductance, de la capacité et de la fréquence du signal.
• La loi d'Ohm s'applique en régime sinusoïdal en utilisant l'impédance à la place de la résistance.
• La puissance active est la puissance réellement consommée par le circuit, tandis que la puissance réactive est la puissance échangée entre les composants.
• La résonance d'intensité se produit lorsque l'impédance est minimale et le courant maximal. La fréquence de résonance dépend de l'inductance et de la capacité.
• La résonance d'intensité se produit lorsque l'impédance est minimale et le courant maximal. La fréquence de résonance dépend de l'inductance et de la capacité.