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Calcul de la Période et de la Fréquence dans le Mouvement Harmonique Simple

Apprenez à calculer la période et la fréquence d'un Mouvement Harmonique Simple, avec des exemples concrets et des exercices résolus.

Introduction à la Période et à la Fréquence

La période (T) et la fréquence (f) sont deux grandeurs fondamentales pour décrire un Mouvement Harmonique Simple (MHS). Elles caractérisent la rapidité avec laquelle le mouvement se répète.

  • Période (T) : C'est le temps nécessaire pour effectuer une oscillation complète. Son unité est la seconde (s).
  • Fréquence (f) : C'est le nombre d'oscillations complètes par seconde. Son unité est le Hertz (Hz), où 1 Hz = 1 s-1.

Relation entre la période et la fréquence : Elles sont inverses l'une de l'autre : f = 1/T et T = 1/f.

Calcul de la Période pour un Système Masse-Ressort

Pour un système constitué d'une masse (m) attachée à un ressort de constante de raideur (k), la période du MHS est donnée par :

T = 2π√(m/k)

Explication de la formule :

  • m : La masse de l'objet oscillant (en kilogrammes, kg).
  • k : La constante de raideur du ressort (en Newtons par mètre, N/m). Elle représente la force nécessaire pour étirer ou comprimer le ressort d'un mètre.
  • 2π : Un facteur constant lié à la nature circulaire du mouvement.

Exemple : Un bloc de 0.5 kg est attaché à un ressort de constante de raideur 20 N/m. Calculons la période d'oscillation :

T = 2π√(0.5 kg / 20 N/m) = 2π√(0.025 s2) ≈ 2π * 0.158 s ≈ 0.99 s

La période d'oscillation est d'environ 0.99 secondes.

Calcul de la Fréquence pour un Système Masse-Ressort

Connaissant la période, la fréquence est simplement l'inverse :

f = 1/T = 1 / (2π√(m/k)) = √(k/m) / (2π)

Reprenons l'exemple précédent :

f = 1 / 0.99 s ≈ 1.01 Hz

La fréquence d'oscillation est d'environ 1.01 Hertz.

Facteurs Influant sur la Période et la Fréquence

L'équation T = 2π√(m/k) nous indique que :

  • Plus la masse (m) est grande, plus la période (T) est longue (l'oscillation est plus lente).
  • Plus la constante de raideur (k) est grande, plus la période (T) est courte (l'oscillation est plus rapide).

La fréquence se comporte de manière inverse :

  • Plus la masse (m) est grande, plus la fréquence (f) est petite (moins d'oscillations par seconde).
  • Plus la constante de raideur (k) est grande, plus la fréquence (f) est grande (plus d'oscillations par seconde).

Application à un Pendule Simple (Petites Oscillations)

Pour un pendule simple (une masse suspendue à un fil), dans l'approximation des petites oscillations (angle θ petit), la période est donnée par :

T = 2π√(L/g)

  • L : Longueur du fil (en mètres, m).
  • g : Accélération due à la gravité (environ 9.81 m/s2).

Remarques importantes :

  • La période d'un pendule simple ne dépend pas de la masse de l'objet suspendu (dans l'approximation des petites oscillations).
  • La période dépend de la longueur du fil et de l'accélération due à la gravité.

Ce qu'il faut retenir

  • La période (T) est le temps pour une oscillation complète, et la fréquence (f) est le nombre d'oscillations par seconde.
  • T = 1/f.
  • Pour un système masse-ressort : T = 2π√(m/k) et f = √(k/m) / (2π).
  • Plus la masse est grande, plus la période est longue et la fréquence est petite.
  • Plus la constante de raideur est grande, plus la période est courte et la fréquence est grande.
  • Pour un pendule simple (petites oscillations) : T = 2π√(L/g). La période ne dépend pas de la masse.

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FAQ

  • La masse de l'objet a-t-elle une influence sur la période d'un pendule simple ?

    Dans l'approximation des petites oscillations (angle d'oscillation petit), la période d'un pendule simple ne dépend pas de la masse de l'objet. Elle dépend uniquement de la longueur du fil (L) et de l'accélération due à la gravité (g).
  • Comment la période change-t-elle si on double la masse attachée au ressort ?

    Si on double la masse (m) attachée au ressort, la période (T) sera multipliée par √2 (racine carrée de 2). En effet, T = 2π√(m/k), donc si m devient 2m, T devient 2π√(2m/k) = √2 * 2π√(m/k).
  • Pourquoi l'approximation des petites oscillations est-elle importante pour le pendule simple ?

    L'approximation des petites oscillations simplifie l'équation du mouvement du pendule. Lorsque l'angle d'oscillation est grand, l'équation devient plus complexe et la période dépend de l'amplitude du mouvement. L'approximation permet d'utiliser la formule simple T = 2π√(L/g).