Théorème de l'énergie cinétique

Introduction à l'énergie cinétique

L'énergie cinétique est l'énergie qu'un objet possède en raison de son mouvement. Plus un objet est lourd (masse élevée) et plus il se déplace rapidement (vitesse élevée), plus son énergie cinétique est grande. Mathématiquement, l'énergie cinétique Ec d'un objet de masse m se déplaçant à une vitesse v est donnée par la formule :

Ec = 1/2 * m * v²

Où :

• Ec est l'énergie cinétique, mesurée en Joules (J)
• m est la masse de l'objet, mesurée en kilogrammes (kg)
• v est la vitesse de l'objet, mesurée en mètres par seconde (m/s)

Il est crucial de noter que l'énergie cinétique est toujours positive ou nulle (si l'objet est immobile). Elle représente l'énergie nécessaire pour amener l'objet du repos à sa vitesse actuelle.

Le travail d'une force

Le travail d'une force est une mesure de l'énergie transférée à un objet par cette force lorsque l'objet se déplace. Il est crucial de comprendre que le travail n'est pas une force elle-même, mais plutôt une mesure de l'effet d'une force sur la distance parcourue par un objet. Le travail (W) d'une force constante F agissant sur un objet qui se déplace d'une distance d est donné par :

W = F * d * cos(θ)

Où :

• W est le travail, mesuré en Joules (J)
• F est la magnitude de la force, mesurée en Newtons (N)
• d est la distance parcourue par l'objet, mesurée en mètres (m)
• θ est l'angle entre la force et la direction du mouvement.

Si la force est dans la même direction que le mouvement (θ = 0°), alors cos(θ) = 1 et le travail est maximal (W = F * d). Si la force est perpendiculaire au mouvement (θ = 90°), alors cos(θ) = 0 et le travail est nul. Si la force s'oppose au mouvement (θ = 180°), alors cos(θ) = -1 et le travail est négatif (W = -F * d). Un travail positif signifie que la force augmente l'énergie de l'objet, tandis qu'un travail négatif signifie que la force diminue l'énergie de l'objet.

Énoncé du Théorème de l'énergie cinétique

Le théorème de l'énergie cinétique (TEC) établit une relation fondamentale entre le travail total effectué sur un objet et la variation de son énergie cinétique. Il stipule que le travail total W_total effectué sur un objet est égal à la variation de son énergie cinétique ΔEc. Mathématiquement, cela s'exprime par :

W_total = ΔEc = Ec_finale - Ec_initiale

Où :

• W_total est le travail total effectué sur l'objet (somme des travaux de toutes les forces agissant sur l'objet).
• ΔEc est la variation de l'énergie cinétique de l'objet.
• Ec_finale est l'énergie cinétique finale de l'objet.
• Ec_initiale est l'énergie cinétique initiale de l'objet.

Ce théorème est extrêmement puissant car il permet de relier les forces agissant sur un objet à son mouvement, sans avoir à considérer tous les détails de la trajectoire. Il est particulièrement utile dans les situations où le travail est plus facile à calculer que l'accélération.

Application du TEC : Exemple du freinage d'une voiture

Prenons l'exemple d'une voiture qui freine. La force de freinage (force de frottement exercée par les freins) effectue un travail négatif sur la voiture, car elle s'oppose au mouvement. Supposons qu'une voiture de masse m = 1200 kg roule à une vitesse initiale v_i = 25 m/s (90 km/h) et freine jusqu'à l'arrêt (v_f = 0 m/s) sur une distance d = 50 m. Nous pouvons utiliser le TEC pour déterminer la force de freinage moyenne F_f.

1. Calcul de la variation d'énergie cinétique :
ΔEc = Ec_finale - Ec_initiale = 1/2 * m * v_f² - 1/2 * m * v_i² = 1/2 * 1200 * 0² - 1/2 * 1200 * 25² = -375 000 J

2. Calcul du travail de la force de freinage :
Le travail de la force de freinage est W_f = F_f * d * cos(180°) = -F_f * d (car la force de freinage est opposée au mouvement).

3. Application du TEC :
W_total = ΔEc => -F_f * d = -375 000 J => F_f = 375 000 / 50 = 7500 N

La force de freinage moyenne est donc de 7500 N. Cet exemple montre comment le TEC permet de relier la force de freinage à la variation de la vitesse de la voiture.

Forces conservatives et non conservatives

Il est important de distinguer les forces conservatives des forces non conservatives.

• Forces conservatives: Une force est dite conservative si le travail qu'elle effectue sur un objet ne dépend pas du chemin suivi, mais seulement des positions initiale et finale de l'objet. Exemples: la force gravitationnelle, la force élastique d'un ressort. Pour ces forces, il est possible de définir une énergie potentielle associée.
• Forces non conservatives: Une force est dite non conservative si le travail qu'elle effectue dépend du chemin suivi. Exemples: la force de frottement, la résistance de l'air. Pour ces forces, il n'est pas possible de définir une énergie potentielle associée. Le travail des forces non conservatives se dissipe généralement sous forme de chaleur.

Lorsque seules des forces conservatives agissent, l'énergie mécanique totale (somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle) se conserve. En présence de forces non conservatives, une partie de l'énergie mécanique est dissipée, et l'énergie mécanique totale n'est plus constante.

Ce qu'il faut retenir

• Énergie cinétique : Ec = 1/2 * m * v²
• Travail d'une force constante : W = F * d * cos(θ)
• Théorème de l'énergie cinétique : W_total = ΔEc = Ec_finale - Ec_initiale
• Le TEC relie le travail total effectué sur un objet à la variation de son énergie cinétique.
• Forces conservatives : travail indépendant du chemin suivi (ex : gravitation, ressort).
• Forces non conservatives : travail dépendant du chemin suivi (ex : frottement).