Représentation des Nombres Entiers : Binaire, Décimal, Hexadécimal

Introduction aux Systèmes de Numération

En informatique, les nombres entiers peuvent être représentés de différentes manières. Les systèmes de numération les plus courants sont le décimal (base 10), le binaire (base 2) et l'hexadécimal (base 16). Comprendre ces systèmes est essentiel pour comprendre comment les ordinateurs stockent et manipulent les données. Le système décimal est celui que nous utilisons quotidiennement. Les systèmes binaire et hexadécimal sont au coeur du fonctionnement des ordinateurs et des systèmes numériques.

Le Système Décimal (Base 10)

Le système décimal est le système de numération que nous utilisons tous les jours. Il utilise 10 chiffres (0 à 9) pour représenter les nombres. Chaque position d'un chiffre dans un nombre représente une puissance de 10. Par exemple, le nombre 123 représente (1 * 10^2) + (2 * 10^1) + (3 * 10^0) = 100 + 20 + 3.

Le Système Binaire (Base 2)

Le système binaire est la langue maternelle de l'ordinateur. Il n'utilise que deux chiffres : 0 et 1. Chaque position d'un chiffre dans un nombre binaire représente une puissance de 2. On appelle chaque chiffre binaire un bit (binary digit). Par exemple, le nombre binaire 1011 représente (1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 en décimal. Les ordinateurs utilisent le système binaire car il est facile de représenter les chiffres 0 et 1 avec des tensions électriques (présence ou absence de courant).

Conversion Décimal vers Binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on divise successivement le nombre par 2 et on note le reste. Les restes, lus de bas en haut, forment le nombre binaire. Par exemple, convertissons 25 en binaire:

25 / 2 = 12 reste 1
12 / 2 = 6 reste 0
6 / 2 = 3 reste 0
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1

Donc, 25 en décimal est égal à 11001 en binaire.

Conversion Binaire vers Décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque bit par sa puissance de 2 correspondante et on additionne les résultats. Par exemple, convertissons 101101 en décimal:

(1 * 2^5) + (0 * 2^4) + (1 * 2^3) + (1 * 2^2) + (0 * 2^1) + (1 * 2^0) = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45

Donc, 101101 en binaire est égal à 45 en décimal.

Le Système Hexadécimal (Base 16)

Le système hexadécimal utilise 16 symboles : les chiffres de 0 à 9 et les lettres A à F, où A représente 10, B représente 11, et ainsi de suite jusqu'à F qui représente 15. Chaque position d'un symbole dans un nombre hexadécimal représente une puissance de 16. L'hexadécimal est souvent utilisé pour représenter des adresses mémoire et des couleurs en informatique, car il est plus compact que le binaire et plus facile à lire que le décimal. Par exemple, le nombre hexadécimal 2A représente (2 * 16^1) + (10 * 16^0) = 32 + 10 = 42 en décimal.

Conversion Décimal vers Hexadécimal

Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, on divise successivement le nombre par 16 et on note le reste. Si le reste est supérieur à 9, on le remplace par la lettre correspondante (A pour 10, B pour 11, etc.). Les restes, lus de bas en haut, forment le nombre hexadécimal. Par exemple, convertissons 42 en hexadécimal:

42 / 16 = 2 reste 10 (A)
2 / 16 = 0 reste 2

Donc, 42 en décimal est égal à 2A en hexadécimal.

Conversion Hexadécimal vers Décimal

Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, on multiplie chaque symbole par sa puissance de 16 correspondante et on additionne les résultats. Par exemple, convertissons 3F en décimal:

(3 * 16^1) + (15 * 16^0) = 48 + 15 = 63

Donc, 3F en hexadécimal est égal à 63 en décimal.

Conversion Binaire vers Hexadécimal et Inversement

La conversion entre le binaire et l'hexadécimal est facilitée par le fait que 16 est une puissance de 2 (16 = 2^4). Un chiffre hexadécimal peut être représenté par exactement 4 bits binaires.

Conversion Binaire vers Hexadécimal: On regroupe les bits par groupes de 4 en partant de la droite et on convertit chaque groupe en son équivalent hexadécimal. Par exemple, convertissons 11010110 en hexadécimal: 1101 0110 -> D6.

Conversion Hexadécimal vers Binaire: On remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire sur 4 bits. Par exemple, convertissons A5 en binaire: A -> 1010, 5 -> 0101. Donc A5 en hexadécimal est égal à 10100101 en binaire.

Importance des Systèmes Binaire et Hexadécimal

Les systèmes binaire et hexadécimal sont fondamentaux en informatique pour les raisons suivantes:

Binaire: Il est directement lié à la manière dont les ordinateurs stockent et manipulent les données au niveau matériel (présence ou absence de tension électrique). Toutes les données (nombres, textes, images, etc.) sont finalement converties en binaire.

Hexadécimal: Il offre une représentation plus concise et lisible des données binaires. Il est utilisé pour représenter les adresses mémoire, les codes de couleur, et d'autres informations importantes de manière plus pratique que le binaire pur.

Ce qu'il faut retenir

• Système Décimal (Base 10): Système de numération courant utilisant les chiffres 0 à 9.
• Système Binaire (Base 2): Système fondamental en informatique utilisant les chiffres 0 et 1.
• Système Hexadécimal (Base 16): Système utilisant les chiffres 0 à 9 et les lettres A à F pour une représentation plus compacte du binaire.
• Conversion Décimal <-> Binaire: Divisions successives par 2 (décimal vers binaire) et sommes des puissances de 2 (binaire vers décimal).
• Conversion Décimal <-> Hexadécimal: Divisions successives par 16 (décimal vers hexadécimal) et sommes des puissances de 16 (hexadécimal vers décimal).
• Conversion Binaire <-> Hexadécimal: Regroupement de 4 bits (binaire vers hexadécimal) et remplacement de chaque chiffre hexadécimal par son équivalent binaire (hexadécimal vers binaire).
• Le binaire est essentiel pour la représentation interne des données, tandis que l'hexadécimal facilite la lecture et la manipulation de ces données.