Le système binaire : Préparation au Bac NSI

Introduction au Système Binaire

Le système binaire est un système de numération qui utilise seulement deux chiffres : 0 et 1. Contrairement au système décimal que nous utilisons quotidiennement (base 10), le système binaire est en base 2. Il est fondamental en informatique car les ordinateurs utilisent des circuits électroniques qui ne peuvent représenter que deux états : allumé (1) ou éteint (0). C'est la base de toute l'information traitée par un ordinateur.

Conversion Binaire - Décimal

• De binaire vers décimal: Chaque chiffre binaire (bit) a une valeur positionnelle qui est une puissance de 2. On commence à partir de la droite avec 2⁰, puis 2¹, 2², etc. Pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque bit par sa valeur positionnelle et on additionne les résultats. Par exemple, le nombre binaire 101101 se convertit comme suit : (1 x 2⁵) + (0 x 2⁴) + (1 x 2³) + (1 x 2²) + (0 x 2¹) + (1 x 2⁰) = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45
• De décimal vers binaire: On divise successivement le nombre décimal par 2 et on note les restes. Les restes, lus de bas en haut, forment le nombre binaire. Par exemple, pour convertir le nombre décimal 25 en binaire :
  • 25 / 2 = 12 reste 1
  • 12 / 2 = 6 reste 0
  • 6 / 2 = 3 reste 0
  • 3 / 2 = 1 reste 1
  • 1 / 2 = 0 reste 1
  Le nombre binaire est donc 11001.

Opérations Binaires

Les opérations arithmétiques de base (addition, soustraction, multiplication, division) peuvent être effectuées en binaire. L'addition binaire est particulièrement importante. Voici les règles de base :

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (0 avec une retenue de 1)

Représentation des Nombres Négatifs

Il existe plusieurs méthodes pour représenter les nombres négatifs en binaire. La plus courante est le complément à deux.

• Complément à deux: Pour trouver le complément à deux d'un nombre binaire, on inverse tous les bits (0 devient 1 et 1 devient 0) puis on ajoute 1. Par exemple, pour représenter -5 en binaire sur 8 bits :
  • 5 en binaire est 00000101
  • On inverse les bits : 11111010
  • On ajoute 1 : 11111011
  Donc -5 en complément à deux est 11111011. Le bit de poids fort (le bit le plus à gauche) indique le signe : 0 pour positif, 1 pour négatif.

Applications du Système Binaire dans l'Architecture des Ordinateurs

• Codage des informations: Toutes les informations (textes, images, sons, vidéos) sont codées en binaire. Par exemple, le code ASCII utilise 7 bits pour représenter chaque caractère.
• Adresses mémoire: Les adresses mémoire sont représentées en binaire.
• Instructions machine: Les instructions que le processeur exécute sont également codées en binaire.
• Logique booléenne: Les opérations logiques (AND, OR, NOT, XOR) sont réalisées avec des circuits électroniques qui manipulent des bits.

Les unités d'information

L'unité de base est le bit, qui peut prendre la valeur 0 ou 1. Les unités suivantes sont des regroupements de bits :

• Octet (Byte) : 8 bits
• Kilooctet (KB) : 1024 octets
• Mégaoctet (MB) : 1024 KB
• Gigaoctet (GB) : 1024 MB
• Téraoctet (TB) : 1024 GB

Ce qu'il faut retenir

• Le système binaire utilise seulement 0 et 1.
• Il est fondamental en informatique pour représenter les informations.
• On peut convertir entre binaire et décimal.
• Les opérations binaires (addition, soustraction...) sont possibles.
• Le complément à deux permet de représenter les nombres négatifs.
• Le binaire est utilisé pour le codage des informations, les adresses mémoire, les instructions machine.