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Loi Binomiale : Exercices et Corrigés

Découvrez la loi binomiale, ses paramètres et son utilisation à travers des exercices corrigés et des explications détaillées, parfait pour la préparation du Baccalauréat.

Introduction à la Loi Binomiale

La loi binomiale est un modèle probabiliste qui décrit le nombre de succès obtenus lors de la répétition d'une expérience aléatoire identique et indépendante, appelée épreuve de Bernoulli. Chaque épreuve a seulement deux issues possibles : succès (S) ou échec (E). Elle est particulièrement utile pour modéliser des situations où l'on compte le nombre de fois qu'un événement se produit sur un nombre fixe d'essais.

Paramètres de la Loi Binomiale

Une loi binomiale est définie par deux paramètres:

  • n: Le nombre d'épreuves (ou répétitions) de Bernoulli.
  • p: La probabilité de succès lors d'une seule épreuve.
On note alors que la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et on écrit X ~ B(n, p). La probabilité d'échec lors d'une seule épreuve est donc 1 - p.

Calcul des Probabilités avec la Loi Binomiale

La probabilité d'obtenir exactement k succès lors de n épreuves est donnée par la formule suivante: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) où C(n, k) est le coefficient binomial, qui se calcule comme n! / (k! * (n - k)!) et représente le nombre de combinaisons possibles de k succès parmi n épreuves. Important : n! (n factoriel) est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à n (ex: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1).

Exemple Concret

On lance une pièce de monnaie équilibrée (p = 0.5) 10 fois (n = 10). Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 6 faces (k = 6)? On a X ~ B(10, 0.5). Donc, P(X = 6) = C(10, 6) * (0.5)^6 * (0.5)^4 = 210 * (0.5)^10 ≈ 0.205.

Espérance et Variance de la Loi Binomiale

Si X suit une loi binomiale B(n, p), alors:

  • Espérance (Moyenne): E(X) = n * p. C'est la valeur moyenne du nombre de succès que l'on peut attendre.
  • Variance: V(X) = n * p * (1 - p). Mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
  • Écart-type: σ(X) = √V(X) = √(n * p * (1 - p)). Est la racine carrée de la variance et donne une idée de la dispersion typique.

Exercice 1: Lancer de dés

On lance un dé à six faces 5 fois de suite. On considère que le succès est d'obtenir un 6. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus.

  1. Quelle est la loi suivie par X ? Préciser ses paramètres.
  2. Calculer P(X = 2).
  3. Calculer la probabilité d'obtenir au moins un 6.
Correction :
  1. X suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 1/6. Donc X ~ B(5, 1/6).
  2. P(X = 2) = C(5, 2) * (1/6)^2 * (5/6)^3 = 10 * (1/36) * (125/216) ≈ 0.161
  3. P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - C(5, 0) * (1/6)^0 * (5/6)^5 = 1 - (5/6)^5 ≈ 0.598

Ce qu'il faut retenir

  • Loi Binomiale: Modélise le nombre de succès lors de n épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.
  • Paramètres: n (nombre d'épreuves) et p (probabilité de succès). Notation: X ~ B(n, p).
  • Calcul de Probabilité: P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k).
  • Espérance: E(X) = n * p.
  • Variance: V(X) = n * p * (1 - p).
  • Bien identifier: Vérifier que les épreuves sont indépendantes et que la probabilité de succès reste constante.

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FAQ

  • Comment reconnaître une situation qui peut être modélisée par une loi binomiale ?

    Recherchez les caractéristiques suivantes : Un nombre fixe d'essais (n). Chaque essai a seulement deux résultats possibles (succès ou échec). Les essais sont indépendants. La probabilité de succès (p) est la même pour chaque essai. Si ces conditions sont remplies, la loi binomiale est un modèle approprié.
  • Quelle est la différence entre la loi binomiale et la loi de Bernoulli ?

    La loi de Bernoulli décrit une seule épreuve (un seul essai avec deux résultats possibles). La loi binomiale décrit le nombre de succès obtenus après la répétition de plusieurs épreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.