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Exercices Corrigés de Géométrie dans l'Espace pour le Bac
Maîtrisez les concepts de géométrie dans l'espace avec des exercices corrigés, adaptés aux exigences du Baccalauréat. Apprenez à manipuler les vecteurs dans l'espace, à déterminer les équations de plans et de droites, et à calculer les distances et les angles entre éléments géométriques.
Vecteurs dans l'Espace
Définition: Un vecteur dans l'espace est défini par ses trois composantes (x, y, z) dans un repère orthonormé (O, i, j, k). On le note )
.
Opérations: Les opérations sur les vecteurs (addition, multiplication par un scalaire) se font composante par composante, de la même manière que dans le plan.
Produit scalaire: Le produit scalaire de deux vecteurs )
et )
est 
.
Produit vectoriel: Le produit vectoriel de deux vecteurs et est un vecteur 
perpendiculaire à 
et 
. Ses composantes sont données par: 
, 
, 
.
Exemple: Si )
et )
, alors (4) + (2)(5) + (3)(6) = 32)
.
Équations de Plans
Équation cartésienne: Un plan (P) peut être défini par une équation de la forme ax + by + cz + d = 0, où a, b, c et d sont des nombres réels et (a, b, c) ≠ (0, 0, 0).
Vecteur normal: Un vecteur normal 
à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 a pour coordonnées (a, b, c).
Plan défini par un point et un vecteur normal: Si A(xA, yA, zA) est un point du plan (P) et )
est un vecteur normal à (P), alors l'équation de (P) est a(x - xA) + b(y - yA) + c(z - zA) = 0.
Exemple: Le plan passant par le point A(1, -1, 2) et de vecteur normal )
a pour équation 3(x - 1) - 2(y + 1) + (z - 2) = 0, soit 3x - 2y + z - 7 = 0.
Équations de Droites dans l'Espace
Représentation paramétrique: Une droite (D) dans l'espace peut être définie par une représentation paramétrique de la forme:
x = xA + t * a
y = yA + t * b
z = zA + t * c
où A(xA, yA, zA) est un point de (D), )
est un vecteur directeur de (D) et t est un paramètre réel.
Droite définie par deux points: Si A(xA, yA, zA) et B(xB, yB, zB) sont deux points de (D), alors 
est un vecteur directeur de (D).
Positions Relatives: Droites et Plans
Droite et plan parallèles: Une droite (D) et un plan (P) sont parallèles si le vecteur directeur de (D) est orthogonal au vecteur normal de (P), c'est-à-dire si leur produit scalaire est nul.
Droite et plan perpendiculaires: Une droite (D) et un plan (P) sont perpendiculaires si le vecteur directeur de (D) est colinéaire au vecteur normal de (P).
Deux plans parallèles: Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Deux plans perpendiculaires: Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Ce qu'il faut retenir
- Un vecteur dans l'espace est défini par ses trois composantes (x, y, z).
- Le produit scalaire de deux vecteurs
- L'équation cartésienne d'un plan est ax + by + cz + d = 0.
- Le vecteur normal à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 est (a, b, c).
- Une droite dans l'espace peut être définie par une représentation paramétrique.
FAQ
-
Comment vérifier si un point appartient à un plan donné ?
Un point A(xA, yA, zA) appartient à un plan d'équation ax + by + cz + d = 0 si et seulement si l'équation est vérifiée quand on remplace x, y et z par xA, yA et zA respectivement. C'est-à-dire, si axA + byA + czA + d = 0. -
Comment calculer la distance d'un point à un plan ?
La distance d'un point M(x0, y0, z0) au plan d'équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par la formule: d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a² + b² + c²). Il est crucial que le plan soit sous forme cartésienne et que tous les termes soient du même côté de l'équation.