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Fonctions Numériques et Dérivées : Exercices Corrigés pour le Bac

Préparez-vous efficacement à l'épreuve de mathématiques du Bac avec cette série d'exercices corrigés sur les fonctions numériques et leurs dérivées. Maîtrisez les concepts clés, les techniques de calcul et l'interprétation graphique.

Définition d'une Fonction Numérique

Une fonction numérique est une relation qui associe à chaque élément d'un ensemble de nombres réels (l'ensemble de définition) un unique nombre réel. On la note généralement f(x), où x est la variable et f(x) est l'image de x par la fonction f. Il est essentiel de bien comprendre le domaine de définition de la fonction, c'est-à-dire l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f(x) est définie. Les fonctions numériques peuvent être définies par une formule explicite (par exemple, f(x) = x2 + 1), par une représentation graphique, ou par d'autres moyens.

Calcul de Dérivées

La dérivée d'une fonction f en un point x0 (si elle existe) est la limite du taux d'accroissement de f entre x0 et x, lorsque x tend vers x0. On la note f'(x0). Graphiquement, f'(x0) représente la pente de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x0. Le calcul de dérivées est une compétence fondamentale. Voici quelques règles de dérivation importantes:

  • Dérivée d'une constante: Si f(x) = c (où c est une constante), alors f'(x) = 0.
  • Dérivée de xn: Si f(x) = xn, alors f'(x) = nxn-1.
  • Dérivée d'une somme: Si h(x) = f(x) + g(x), alors h'(x) = f'(x) + g'(x).
  • Dérivée d'un produit: Si h(x) = f(x)g(x), alors h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
  • Dérivée d'un quotient: Si h(x) = f(x)/g(x), alors h'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))2.
  • Dérivée d'une fonction composée: Si h(x) = f(g(x)), alors h'(x) = f'(g(x))g'(x).

Interprétation Géométrique de la Dérivée

La dérivée d'une fonction a une interprétation géométrique importante: elle représente la pente de la tangente à la courbe de la fonction en un point donné.

  • Si f'(x) > 0: La fonction f est croissante au point x.
  • Si f'(x) < 0: La fonction f est décroissante au point x.
  • Si f'(x) = 0: La fonction f a un point critique au point x (un maximum local, un minimum local ou un point d'inflexion).
L'étude du signe de la dérivée permet de déterminer les intervalles de croissance et de décroissance d'une fonction, et de localiser ses extrema locaux.

Tableau de Variations

Le tableau de variations est un outil essentiel pour résumer l'étude d'une fonction. Il contient:

  • La variable x et les valeurs importantes (zéros de la dérivée, points où la fonction n'est pas définie).
  • Le signe de la dérivée f'(x) sur chaque intervalle.
  • Le sens de variation de la fonction f (croissante ou décroissante).
  • Les valeurs de la fonction aux points importants (limites, extrema locaux).
Le tableau de variations permet de visualiser rapidement le comportement d'une fonction et de répondre à de nombreuses questions (existence de solutions d'une équation, position relative de la courbe par rapport à l'axe des abscisses, etc.).

Applications de la Dérivée

La dérivée a de nombreuses applications:

  • Optimisation: Trouver les valeurs de x qui maximisent ou minimisent une fonction (par exemple, maximiser un profit, minimiser un coût).
  • Etude de fonctions: Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, les extrema locaux, les points d'inflexion.
  • Résolution d'équations: Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires et la monotonie de la fonction pour prouver l'existence et l'unicité de solutions.
  • Calcul de limites: Utiliser la règle de L'Hôpital pour lever des formes indéterminées.

Exercice Corrigé 1 : Étude Complète d'une Fonction

Énoncé: Soit f(x) = (x2 - 3x + 6)/(x - 1).

  1. Déterminer l'ensemble de définition de f.
  2. Calculer la dérivée f'(x).
  3. Étudier le signe de f'(x) et en déduire le tableau de variations de f.
  4. Déterminer les asymptotes de la courbe de f.

Correction:
  1. L'ensemble de définition de f est R \ {1} car x - 1 doit être différent de zéro.
  2. f'(x) = [(2x - 3)(x - 1) - (x2 - 3x + 6)]/(x - 1)2 = (x2 - 2x - 3)/(x - 1)2.
  3. f'(x) = 0 <=> x2 - 2x - 3 = 0 <=> (x - 3)(x + 1) = 0. Donc x = 3 ou x = -1. f'(x) est du signe de x2 - 2x - 3, donc positif sur ]-∞, -1[ et ]3, +∞[, et négatif sur ]-1, 1[ et ]1, 3[. Tableau de variations : croissante sur ]-∞, -1[ et ]3, +∞[, décroissante sur ]-1, 1[ et ]1, 3[.
  4. Asymptote verticale: x = 1. Asymptote oblique: y = x - 2 car f(x) = x - 2 + 4/(x - 1).

Exercice Corrigé 2 : Optimisation

Énoncé: On veut construire une boîte sans couvercle à partir d'une feuille de carton carrée de côté 10 cm, en découpant des carrés identiques aux quatre coins et en relevant les côtés. Quelles dimensions faut-il donner aux carrés découpés pour que le volume de la boîte soit maximal ?

Correction:

  1. Soit x la longueur du côté des carrés découpés. Le volume de la boîte est V(x) = x(10 - 2x)2 = x(100 - 40x + 4x2) = 4x3 - 40x2 + 100x.
  2. On cherche à maximiser V(x) sur l'intervalle [0, 5] (car x ne peut pas être supérieur à 5).
  3. V'(x) = 12x2 - 80x + 100. V'(x) = 0 <=> 3x2 - 20x + 25 = 0 <=> (3x - 5)(x - 5) = 0. Donc x = 5/3 ou x = 5.
  4. V(5/3) = (5/3)(10 - 10/3)2 = (5/3)(20/3)2 = 2000/27 ≈ 74.07. V(5) = 0.
  5. Donc le volume est maximal lorsque x = 5/3 cm. Les dimensions de la boîte sont alors : longueur = largeur = 10 - 2(5/3) = 20/3 cm et hauteur = 5/3 cm.

Ce qu'il faut retenir

  • Dérivée: Pente de la tangente à la courbe.
  • Règles de dérivation: Connaître les dérivées des fonctions usuelles (xn, sin(x), cos(x), ex, ln(x)) et les règles de dérivation (somme, produit, quotient, composée).
  • Tableau de variations: Utile pour étudier une fonction.
  • Extrema locaux: f'(x) = 0 et étudier le signe de f'(x) autour de ce point.
  • Asymptotes: Verticales, horizontales, obliques.
  • Optimisation: Maximiser ou minimiser une fonction en utilisant la dérivée.

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FAQ

  • Comment déterminer si une fonction a un maximum ou un minimum local ?

    On calcule la dérivée et on cherche les points où elle s'annule (points critiques). Ensuite, on étudie le signe de la dérivée autour de ces points. Si la dérivée change de signe (positive avant le point critique et négative après), alors il s'agit d'un maximum local. Si elle change de signe (négative avant et positive après), alors il s'agit d'un minimum local.
  • Comment trouver les asymptotes d'une fonction ?

    Pour les asymptotes verticales, on cherche les valeurs de x où la fonction n'est pas définie (par exemple, où le dénominateur s'annule). Pour les asymptotes horizontales, on calcule les limites de la fonction lorsque x tend vers +∞ et -∞. Si ces limites sont finies, alors il y a une asymptote horizontale. Pour les asymptotes obliques, on cherche une droite y = ax + b telle que la limite de f(x) - (ax + b) soit nulle lorsque x tend vers +∞ ou -∞.